Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13380 / 21572
↖ ↑ ↗
← S 49.410973°
W 33.002930°		 ← 794.83 m → S 49.410973°
W 32.991943°		 →
↑
794.78 m
↓
↑
794.78 m
↓
S 49.418121°
W 33.002930°		 ← 794.72 m →
631 674 m²		 S 49.418121°
W 32.991943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408340454101562 y=0.658340454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408340454101562 × 215)
    floor (0.408340454101562 × 32768)
    floor (13380.5)     		tx = 13380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658340454101562 × 215)
    floor (0.658340454101562 × 32768)
    floor (21572.5)     		ty = 21572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13380 / 21572 ti = "15/13380/21572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13380/21572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13380 ÷ 215
    13380 ÷ 32768     		x = 0.4083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21572 ÷ 215
    21572 ÷ 32768     		y = 0.6583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57600979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.994786540915405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57600979} λ = -0.57600979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994786540915405))-π/2
    2×atan(0.369802373795868)-π/2
    2×0.354206078932013-π/2
    0.708412157864026-1.57079632675     		φ = -0.86238417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57600979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86238417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.410973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13380 KachelY 21572 -0.57600979 -0.86238417 -33.002930 -49.410973
    Oben rechts KachelX + 1 13381 KachelY 21572 -0.57581804 -0.86238417 -32.991943 -49.410973
    Unten links KachelX 13380 KachelY + 1 21573 -0.57600979 -0.86250892 -33.002930 -49.418121
    Unten rechts KachelX + 1 13381 KachelY + 1 21573 -0.57581804 -0.86250892 -32.991943 -49.418121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86238417--0.86250892) × R
    0.000124750000000007 × 6371000     		dl = 794.782250000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86238417--0.86250892) × R
    0.000124750000000007 × 6371000     		dr = 794.782250000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57600979--0.57581804) × cos(-0.86238417) × R
    0.000191749999999935 × 0.650628790059247 × 6371000     		do = 794.833667116117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57600979--0.57581804) × cos(-0.86250892) × R
    0.000191749999999935 × 0.650534050354578 × 6371000     		du = 794.71792937436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86238417)-sin(-0.86250892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650628790059247-0.650534050354578)×R²
    abs(-0.57581804--0.57600979)×9.47397046690002e-05×R²
    0.000191749999999935×9.47397046690002e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.47397046690002e-05×40589641000000     		ar = 631673.69799432m²