Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13408 / 21600
↖ ↑ ↗
← S 49.610710°
W 32.695312°		 ← 791.55 m → S 49.610710°
W 32.684326°		 →
↑
791.53 m
↓
↑
791.53 m
↓
S 49.617828°
W 32.695312°		 ← 791.44 m →
626 495 m²		 S 49.617828°
W 32.684326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409194946289062 y=0.659194946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409194946289062 × 215)
    floor (0.409194946289062 × 32768)
    floor (13408.5)     		tx = 13408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659194946289062 × 215)
    floor (0.659194946289062 × 32768)
    floor (21600.5)     		ty = 21600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13408 / 21600 ti = "15/13408/21600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13408/21600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13408 ÷ 215
    13408 ÷ 32768     		x = 0.4091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21600 ÷ 215
    21600 ÷ 32768     		y = 0.6591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4091796875 × 2 - 1) × π
    -0.181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57064085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6591796875 × 2 - 1) × π
    -0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57064085} λ = -0.57064085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00015547367285))-π/2
    2×atan(0.367822250049529)-π/2
    2×0.352463047071076-π/2
    0.704926094142153-1.57079632675     		φ = -0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57064085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.695312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13408 KachelY 21600 -0.57064085 -0.86587023 -32.695312 -49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 13409 KachelY 21600 -0.57044911 -0.86587023 -32.684326 -49.610710
    Unten links KachelX 13408 KachelY + 1 21601 -0.57064085 -0.86599447 -32.695312 -49.617828
    Unten rechts KachelX + 1 13409 KachelY + 1 21601 -0.57044911 -0.86599447 -32.684326 -49.617828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86587023--0.86599447) × R
    0.000124239999999998 × 6371000     		dl = 791.533039999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86587023--0.86599447) × R
    0.000124239999999998 × 6371000     		dr = 791.533039999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57064085--0.57044911) × cos(-0.86587023) × R
    0.000191739999999996 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 791.553516059009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57064085--0.57044911) × cos(-0.86599447) × R
    0.000191739999999996 × 0.647882908661544 × 6371000     		du = 791.437914004979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86587023)-sin(-0.86599447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.647882908661544)×R²
    abs(-0.57044911--0.57064085)×9.4633569717284e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4633569717284e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4633569717284e-05×40589641000000     		ar = 626495.010272091m²