Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13439 / 21633
↖ ↑ ↗
← S 49.845068°
W 32.354736°		 ← 787.78 m → S 49.845068°
W 32.343750°		 →
↑
787.71 m
↓
↑
787.71 m
↓
S 49.852152°
W 32.354736°		 ← 787.67 m →
620 499 m²		 S 49.852152°
W 32.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410140991210938 y=0.660202026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410140991210938 × 215)
    floor (0.410140991210938 × 32768)
    floor (13439.5)     		tx = 13439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660202026367188 × 215)
    floor (0.660202026367188 × 32768)
    floor (21633.5)     		ty = 21633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13439 / 21633 ti = "15/13439/21633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13439/21633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13439 ÷ 215
    13439 ÷ 32768     		x = 0.410125732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21633 ÷ 215
    21633 ÷ 32768     		y = 0.660186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410125732421875 × 2 - 1) × π
    -0.17974853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56469668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660186767578125 × 2 - 1) × π
    -0.32037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0064831444227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56469668} λ = -0.56469668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0064831444227))-π/2
    2×atan(0.365502140143856)-π/2
    2×0.350417890835488-π/2
    0.700835781670976-1.57079632675     		φ = -0.86996055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56469668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.354736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86996055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.845068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13439 KachelY 21633 -0.56469668 -0.86996055 -32.354736 -49.845068
    Oben rechts KachelX + 1 13440 KachelY 21633 -0.56450493 -0.86996055 -32.343750 -49.845068
    Unten links KachelX 13439 KachelY + 1 21634 -0.56469668 -0.87008419 -32.354736 -49.852152
    Unten rechts KachelX + 1 13440 KachelY + 1 21634 -0.56450493 -0.87008419 -32.343750 -49.852152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86996055--0.87008419) × R
    0.00012363999999998 × 6371000     		dl = 787.710439999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86996055--0.87008419) × R
    0.00012363999999998 × 6371000     		dr = 787.710439999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56469668--0.56450493) × cos(-0.86996055) × R
    0.000191749999999935 × 0.644856699514786 × 6371000     		do = 787.782254752452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56469668--0.56450493) × cos(-0.87008419) × R
    0.000191749999999935 × 0.644762196101618 × 6371000     		du = 787.666805673666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86996055)-sin(-0.87008419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644856699514786-0.644762196101618)×R²
    abs(-0.56450493--0.56469668)×9.4503413168523e-05×R²
    0.000191749999999935×9.4503413168523e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.4503413168523e-05×40589641000000     		ar = 620498.837083774m²