Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1344 / 1857
↖ ↑ ↗
← S 81.120389°
E 56.250000°		 ← 3 017.10 m → S 81.120389°
E 56.425781°		 →
↑
3 012.53 m
↓
↑
3 012.53 m
↓
S 81.147481°
E 56.250000°		 ← 3 007.97 m →
9 075 351 m²		 S 81.147481°
E 56.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656494140625 y=0.906982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656494140625 × 211)
    floor (0.656494140625 × 2048)
    floor (1344.5)     		tx = 1344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906982421875 × 211)
    floor (0.906982421875 × 2048)
    floor (1857.5)     		ty = 1857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1344 / 1857 ti = "11/1344/1857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1344/1857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1344 ÷ 211
    1344 ÷ 2048     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1857 ÷ 211
    1857 ÷ 2048     		y = 0.90673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90673828125 × 2 - 1) × π
    -0.8134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55561199254443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55561199254443))-π/2
    2×atan(0.0776446995467744)-π/2
    2×0.0774892293466646-π/2
    0.154978458693329-1.57079632675     		φ = -1.41581787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41581787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.120389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1344 KachelY 1857 0.98174770 -1.41581787 56.250000 -81.120389
    Oben rechts KachelX + 1 1345 KachelY 1857 0.98481567 -1.41581787 56.425781 -81.120389
    Unten links KachelX 1344 KachelY + 1 1858 0.98174770 -1.41629072 56.250000 -81.147481
    Unten rechts KachelX + 1 1345 KachelY + 1 1858 0.98481567 -1.41629072 56.425781 -81.147481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41581787--1.41629072) × R
    0.000472849999999969 × 6371000     		dl = 3012.5273499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41581787--1.41629072) × R
    0.000472849999999969 × 6371000     		dr = 3012.5273499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98481567) × cos(-1.41581787) × R
    0.00306797000000003 × 0.154358814320269 × 6371000     		do = 3017.10307591348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98481567) × cos(-1.41629072) × R
    0.00306797000000003 × 0.153891614256514 × 6371000     		du = 3007.97116624167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41581787)-sin(-1.41629072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154358814320269-0.153891614256514)×R²
    abs(0.98481567-0.98174770)×0.000467200063754503×R²
    0.00306797000000003×0.000467200063754503×6371000²
    0.00306797000000003×0.000467200063754503×40589641000000     		ar = 9075350.6392362m²