Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1344 / 447
↖ ↑ ↗
← N 70.670881°
E 56.250000°		 ← 6 469.62 m → N 70.670881°
E 56.425781°		 →
↑
6 478.99 m
↓
↑
6 478.99 m
↓
N 70.612614°
E 56.250000°		 ← 6 488.37 m →
41 977 356 m²		 N 70.612614°
E 56.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656494140625 y=0.218505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656494140625 × 211)
    floor (0.656494140625 × 2048)
    floor (1344.5)     		tx = 1344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218505859375 × 211)
    floor (0.218505859375 × 2048)
    floor (447.5)     		ty = 447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1344 / 447 ti = "11/1344/447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1344/447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1344 ÷ 211
    1344 ÷ 2048     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 447 ÷ 211
    447 ÷ 2048     		y = 0.21826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21826171875 × 2 - 1) × π
    0.5634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77021382916943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77021382916943))-π/2
    2×atan(5.87210885530656)-π/2
    2×1.40211794336887-π/2
    2.80423588673773-1.57079632675     		φ = 1.23343956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23343956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.670881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1344 KachelY 447 0.98174770 1.23343956 56.250000 70.670881
    Oben rechts KachelX + 1 1345 KachelY 447 0.98481567 1.23343956 56.425781 70.670881
    Unten links KachelX 1344 KachelY + 1 448 0.98174770 1.23242261 56.250000 70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 1345 KachelY + 1 448 0.98481567 1.23242261 56.425781 70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23343956-1.23242261) × R
    0.00101695000000013 × 6371000     		dl = 6478.98845000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23343956-1.23242261) × R
    0.00101695000000013 × 6371000     		dr = 6478.98845000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98481567) × cos(1.23343956) × R
    0.00306797000000003 × 0.330994009622915 × 6371000     		do = 6469.6211158387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98481567) × cos(1.23242261) × R
    0.00306797000000003 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 6488.37468037707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23343956)-sin(1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330994009622915-0.331953465734817)×R²
    abs(0.98481567-0.98174770)×0.000959456111901236×R²
    0.00306797000000003×0.000959456111901236×6371000²
    0.00306797000000003×0.000959456111901236×40589641000000     		ar = 41977356.1671267m²