Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1344 / 448
↖ ↑ ↗
← N 70.612614°
E 56.250000°		 ← 6 488.37 m → N 70.612614°
E 56.425781°		 →
↑
6 497.72 m
↓
↑
6 497.72 m
↓
N 70.554179°
E 56.250000°		 ← 6 507.18 m →
42 220 722 m²		 N 70.554179°
E 56.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656494140625 y=0.218994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656494140625 × 211)
    floor (0.656494140625 × 2048)
    floor (1344.5)     		tx = 1344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218994140625 × 211)
    floor (0.218994140625 × 2048)
    floor (448.5)     		ty = 448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1344 / 448 ti = "11/1344/448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1344/448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1344 ÷ 211
    1344 ÷ 2048     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 448 ÷ 211
    448 ÷ 2048     		y = 0.21875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21875 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76714586759375))-π/2
    2×atan(5.85412105801472)-π/2
    2×1.4016094693361-π/2
    2.80321893867219-1.57079632675     		φ = 1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1344 KachelY 448 0.98174770 1.23242261 56.250000 70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 1345 KachelY 448 0.98481567 1.23242261 56.425781 70.612614
    Unten links KachelX 1344 KachelY + 1 449 0.98174770 1.23140272 56.250000 70.554179
    Unten rechts KachelX + 1 1345 KachelY + 1 449 0.98481567 1.23140272 56.425781 70.554179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23242261-1.23140272) × R
    0.00101989000000002 × 6371000     		dl = 6497.71919000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23242261-1.23140272) × R
    0.00101989000000002 × 6371000     		dr = 6497.71919000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98481567) × cos(1.23242261) × R
    0.00306797000000003 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 6488.37468037707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98481567) × cos(1.23140272) × R
    0.00306797000000003 × 0.332915350838873 × 6371000     		du = 6507.17572208567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23242261)-sin(1.23140272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.332915350838873)×R²
    abs(0.98481567-0.98174770)×0.000961885104056703×R²
    0.00306797000000003×0.000961885104056703×6371000²
    0.00306797000000003×0.000961885104056703×40589641000000     		ar = 42220722.2771011m²