Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13440 / 23680
↖ ↑ ↗
← S 62.267923°
W 32.343750°		 ← 568.47 m → S 62.267923°
W 32.332764°		 →
↑
568.42 m
↓
↑
568.42 m
↓
S 62.273035°
W 32.343750°		 ← 568.38 m →
323 105 m²		 S 62.273035°
W 32.332764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410171508789062 y=0.722671508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410171508789062 × 215)
    floor (0.410171508789062 × 32768)
    floor (13440.5)     		tx = 13440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722671508789062 × 215)
    floor (0.722671508789062 × 32768)
    floor (23680.5)     		ty = 23680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13440 / 23680 ti = "15/13440/23680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13440/23680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13440 ÷ 215
    13440 ÷ 32768     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23680 ÷ 215
    23680 ÷ 32768     		y = 0.72265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72265625 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39899047851172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39899047851172))-π/2
    2×atan(0.246846034575576)-π/2
    2×0.242008029276541-π/2
    0.484016058553082-1.57079632675     		φ = -1.08678027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08678027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.267923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13440 KachelY 23680 -0.56450493 -1.08678027 -32.343750 -62.267923
    Oben rechts KachelX + 1 13441 KachelY 23680 -0.56431318 -1.08678027 -32.332764 -62.267923
    Unten links KachelX 13440 KachelY + 1 23681 -0.56450493 -1.08686949 -32.343750 -62.273035
    Unten rechts KachelX + 1 13441 KachelY + 1 23681 -0.56431318 -1.08686949 -32.332764 -62.273035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08678027--1.08686949) × R
    8.9220000000001e-05 × 6371000     		dl = 568.420620000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08678027--1.08686949) × R
    8.9220000000001e-05 × 6371000     		dr = 568.420620000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56431318) × cos(-1.08678027) × R
    0.000191750000000046 × 0.46533766400578 × 6371000     		do = 568.47475485291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56431318) × cos(-1.08686949) × R
    0.000191750000000046 × 0.465258690565822 × 6371000     		du = 568.37827779895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08678027)-sin(-1.08686949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46533766400578-0.465258690565822)×R²
    abs(-0.56431318--0.56450493)×7.89734399579967e-05×R²
    0.000191750000000046×7.89734399579967e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.89734399579967e-05×40589641000000     		ar = 323105.35304815m²