Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13440 / 5248
↖ ↑ ↗
← N 76.516819°
W 32.343750°		 ← 284.84 m → N 76.516819°
W 32.332764°		 →
↑
284.85 m
↓
↑
284.85 m
↓
N 76.514257°
W 32.343750°		 ← 284.89 m →
81 143 m²		 N 76.514257°
W 32.332764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410171508789062 y=0.160171508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410171508789062 × 215)
    floor (0.410171508789062 × 32768)
    floor (13440.5)     		tx = 13440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160171508789062 × 215)
    floor (0.160171508789062 × 32768)
    floor (5248.5)     		ty = 5248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13440 / 5248 ti = "15/13440/5248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13440/5248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13440 ÷ 215
    13440 ÷ 32768     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5248 ÷ 215
    5248 ÷ 32768     		y = 0.16015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16015625 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13530125667578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13530125667578))-π/2
    2×atan(8.45959463237978)-π/2
    2×1.45313337466975-π/2
    2.90626674933949-1.57079632675     		φ = 1.33547042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33547042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.516819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13440 KachelY 5248 -0.56450493 1.33547042 -32.343750 76.516819
    Oben rechts KachelX + 1 13441 KachelY 5248 -0.56431318 1.33547042 -32.332764 76.516819
    Unten links KachelX 13440 KachelY + 1 5249 -0.56450493 1.33542571 -32.343750 76.514257
    Unten rechts KachelX + 1 13441 KachelY + 1 5249 -0.56431318 1.33542571 -32.332764 76.514257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33547042-1.33542571) × R
    4.47100000000589e-05 × 6371000     		dl = 284.847410000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33547042-1.33542571) × R
    4.47100000000589e-05 × 6371000     		dr = 284.847410000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56431318) × cos(1.33547042) × R
    0.000191750000000046 × 0.233159922173044 × 6371000     		do = 284.837312453604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56431318) × cos(1.33542571) × R
    0.000191750000000046 × 0.233203399661057 × 6371000     		du = 284.890426259452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33547042)-sin(1.33542571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233159922173044-0.233203399661057)×R²
    abs(-0.56431318--0.56450493)×4.34774880126165e-05×R²
    0.000191750000000046×4.34774880126165e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.34774880126165e-05×40589641000000     		ar = 81142.7354030391m²