Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13442 / 21634
↖ ↑ ↗
← S 49.852152°
W 32.321777°		 ← 787.63 m → S 49.852152°
W 32.310791°		 →
↑
787.58 m
↓
↑
787.58 m
↓
S 49.859235°
W 32.321777°		 ← 787.51 m →
620 275 m²		 S 49.859235°
W 32.310791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410232543945312 y=0.660232543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410232543945312 × 215)
    floor (0.410232543945312 × 32768)
    floor (13442.5)     		tx = 13442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660232543945312 × 215)
    floor (0.660232543945312 × 32768)
    floor (21634.5)     		ty = 21634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13442 / 21634 ti = "15/13442/21634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13442/21634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13442 ÷ 215
    13442 ÷ 32768     		x = 0.41021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21634 ÷ 215
    21634 ÷ 32768     		y = 0.66021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1795654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56412143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.3204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56412143} λ = -0.56412143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00667489202118))-π/2
    2×atan(0.365432062705049)-π/2
    2×0.35035607050364-π/2
    0.70071214100728-1.57079632675     		φ = -0.87008419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56412143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.321777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87008419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.852152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13442 KachelY 21634 -0.56412143 -0.87008419 -32.321777 -49.852152
    Oben rechts KachelX + 1 13443 KachelY 21634 -0.56392969 -0.87008419 -32.310791 -49.852152
    Unten links KachelX 13442 KachelY + 1 21635 -0.56412143 -0.87020781 -32.321777 -49.859235
    Unten rechts KachelX + 1 13443 KachelY + 1 21635 -0.56392969 -0.87020781 -32.310791 -49.859235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87008419--0.87020781) × R
    0.000123619999999991 × 6371000     		dl = 787.583019999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87008419--0.87020781) × R
    0.000123619999999991 × 6371000     		dr = 787.583019999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56412143--0.56392969) × cos(-0.87008419) × R
    0.000191739999999996 × 0.644762196101618 × 6371000     		do = 787.625727874403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56412143--0.56392969) × cos(-0.87020781) × R
    0.000191739999999996 × 0.644667698121325 × 6371000     		du = 787.510291453098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87008419)-sin(-0.87020781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644762196101618-0.644667698121325)×R²
    abs(-0.56392969--0.56412143)×9.44979802927071e-05×R²
    0.000191739999999996×9.44979802927071e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.44979802927071e-05×40589641000000     		ar = 620275.19229604m²