Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13444 / 21636
↖ ↑ ↗
← S 49.866317°
W 32.299805°		 ← 787.44 m → S 49.866317°
W 32.288818°		 →
↑
787.39 m
↓
↑
787.39 m
↓
S 49.873398°
W 32.299805°		 ← 787.32 m →
619 975 m²		 S 49.873398°
W 32.288818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410293579101562 y=0.660293579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410293579101562 × 215)
    floor (0.410293579101562 × 32768)
    floor (13444.5)     		tx = 13444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660293579101562 × 215)
    floor (0.660293579101562 × 32768)
    floor (21636.5)     		ty = 21636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13444 / 21636 ti = "15/13444/21636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13444/21636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13444 ÷ 215
    13444 ÷ 32768     		x = 0.4102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21636 ÷ 215
    21636 ÷ 32768     		y = 0.6602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56373794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6602783203125 × 2 - 1) × π
    -0.320556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00705838721814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56373794} λ = -0.56373794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00705838721814))-π/2
    2×atan(0.365291948132537)-π/2
    2×0.350232457020335-π/2
    0.70046491404067-1.57079632675     		φ = -0.87033141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56373794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.299805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87033141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.866317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13444 KachelY 21636 -0.56373794 -0.87033141 -32.299805 -49.866317
    Oben rechts KachelX + 1 13445 KachelY 21636 -0.56354619 -0.87033141 -32.288818 -49.866317
    Unten links KachelX 13444 KachelY + 1 21637 -0.56373794 -0.87045500 -32.299805 -49.873398
    Unten rechts KachelX + 1 13445 KachelY + 1 21637 -0.56354619 -0.87045500 -32.288818 -49.873398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87033141--0.87045500) × R
    0.000123589999999951 × 6371000     		dl = 787.391889999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87033141--0.87045500) × R
    0.000123589999999951 × 6371000     		dr = 787.391889999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56373794--0.56354619) × cos(-0.87033141) × R
    0.000191750000000046 × 0.644573205580134 × 6371000     		do = 787.4359274352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56373794--0.56354619) × cos(-0.87045500) × R
    0.000191750000000046 × 0.644478710838047 × 6371000     		du = 787.320488949348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87033141)-sin(-0.87045500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644573205580134-0.644478710838047)×R²
    abs(-0.56354619--0.56373794)×9.44947420871145e-05×R²
    0.000191750000000046×9.44947420871145e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.44947420871145e-05×40589641000000     		ar = 619975.216282812m²