Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13448 / 21640
↖ ↑ ↗
← S 49.894634°
W 32.255859°		 ← 786.97 m → S 49.894634°
W 32.244873°		 →
↑
786.88 m
↓
↑
786.88 m
↓
S 49.901711°
W 32.255859°		 ← 786.86 m →
619 211 m²		 S 49.901711°
W 32.244873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410415649414062 y=0.660415649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410415649414062 × 215)
    floor (0.410415649414062 × 32768)
    floor (13448.5)     		tx = 13448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660415649414062 × 215)
    floor (0.660415649414062 × 32768)
    floor (21640.5)     		ty = 21640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13448 / 21640 ti = "15/13448/21640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13448/21640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13448 ÷ 215
    13448 ÷ 32768     		x = 0.410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21640 ÷ 215
    21640 ÷ 32768     		y = 0.660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.17919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56297095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.32080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00782537761206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56297095} λ = -0.56297095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00782537761206))-π/2
    2×atan(0.365011880135804)-π/2
    2×0.34998533876454-π/2
    0.69997067752908-1.57079632675     		φ = -0.87082565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56297095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.255859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87082565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.894634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13448 KachelY 21640 -0.56297095 -0.87082565 -32.255859 -49.894634
    Oben rechts KachelX + 1 13449 KachelY 21640 -0.56277920 -0.87082565 -32.244873 -49.894634
    Unten links KachelX 13448 KachelY + 1 21641 -0.56297095 -0.87094916 -32.255859 -49.901711
    Unten rechts KachelX + 1 13449 KachelY + 1 21641 -0.56277920 -0.87094916 -32.244873 -49.901711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87082565--0.87094916) × R
    0.000123509999999993 × 6371000     		dl = 786.882209999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87082565--0.87094916) × R
    0.000123509999999993 × 6371000     		dr = 786.882209999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56297095--0.56277920) × cos(-0.87082565) × R
    0.000191749999999935 × 0.644195259336399 × 6371000     		do = 786.974213469008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56297095--0.56277920) × cos(-0.87094916) × R
    0.000191749999999935 × 0.644100786431451 × 6371000     		du = 786.858801660261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87082565)-sin(-0.87094916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644195259336399-0.644100786431451)×R²
    abs(-0.56277920--0.56297095)×9.44729049489057e-05×R²
    0.000191749999999935×9.44729049489057e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.44729049489057e-05×40589641000000     		ar = 619210.601344877m²