Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1345 / 319
↖ ↑ ↗
← N 76.880775°
E 56.425781°		 ← 4 436.51 m → N 76.880775°
E 56.601563°		 →
↑
4 443.14 m
↓
↑
4 443.14 m
↓
N 76.840817°
E 56.425781°		 ← 4 449.78 m →
19 741 497 m²		 N 76.840817°
E 56.601563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656982421875 y=0.156005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656982421875 × 211)
    floor (0.656982421875 × 2048)
    floor (1345.5)     		tx = 1345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156005859375 × 211)
    floor (0.156005859375 × 2048)
    floor (319.5)     		ty = 319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1345 / 319 ti = "11/1345/319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1345/319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1345 ÷ 211
    1345 ÷ 2048     		x = 0.65673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 319 ÷ 211
    319 ÷ 2048     		y = 0.15576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65673828125 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15576171875 × 2 - 1) × π
    0.6884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16291291085693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98481567} λ = 0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16291291085693))-π/2
    2×atan(8.6964327327532)-π/2
    2×1.45630948727728-π/2
    2.91261897455455-1.57079632675     		φ = 1.34182265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34182265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.880775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1345 KachelY 319 0.98481567 1.34182265 56.425781 76.880775
    Oben rechts KachelX + 1 1346 KachelY 319 0.98788363 1.34182265 56.601563 76.880775
    Unten links KachelX 1345 KachelY + 1 320 0.98481567 1.34112525 56.425781 76.840817
    Unten rechts KachelX + 1 1346 KachelY + 1 320 0.98788363 1.34112525 56.601563 76.840817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34182265-1.34112525) × R
    0.000697399999999959 × 6371000     		dl = 4443.13539999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34182265-1.34112525) × R
    0.000697399999999959 × 6371000     		dr = 4443.13539999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98481567-0.98788363) × cos(1.34182265) × R
    0.00306795999999998 × 0.226978107226564 × 6371000     		do = 4436.50799175799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98481567-0.98788363) × cos(1.34112525) × R
    0.00306795999999998 × 0.227657249737119 × 6371000     		du = 4449.78249304111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34182265)-sin(1.34112525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226978107226564-0.227657249737119)×R²
    abs(0.98788363-0.98481567)×0.000679142510554842×R²
    0.00306795999999998×0.000679142510554842×6371000²
    0.00306795999999998×0.000679142510554842×40589641000000     		ar = 19741496.713976m²