Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1346 / 194
↖ ↑ ↗
← N 81.038617°
E 56.601563°		 ← 3 044.65 m → N 81.038617°
E 56.777344°		 →
↑
3 049.29 m
↓
↑
3 049.29 m
↓
N 81.011194°
E 56.601563°		 ← 3 053.89 m →
9 298 108 m²		 N 81.011194°
E 56.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657470703125 y=0.094970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657470703125 × 211)
    floor (0.657470703125 × 2048)
    floor (1346.5)     		tx = 1346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.094970703125 × 211)
    floor (0.094970703125 × 2048)
    floor (194.5)     		ty = 194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1346 / 194 ti = "11/1346/194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1346/194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1346 ÷ 211
    1346 ÷ 2048     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 194 ÷ 211
    194 ÷ 2048     		y = 0.0947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0947265625 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54640810781738))-π/2
    2×atan(12.7611845645141)-π/2
    2×1.49259350768986-π/2
    2.98518701537972-1.57079632675     		φ = 1.41439069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41439069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.038617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1346 KachelY 194 0.98788363 1.41439069 56.601563 81.038617
    Oben rechts KachelX + 1 1347 KachelY 194 0.99095159 1.41439069 56.777344 81.038617
    Unten links KachelX 1346 KachelY + 1 195 0.98788363 1.41391207 56.601563 81.011194
    Unten rechts KachelX + 1 1347 KachelY + 1 195 0.99095159 1.41391207 56.777344 81.011194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41439069-1.41391207) × R
    0.000478619999999985 × 6371000     		dl = 3049.28801999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41439069-1.41391207) × R
    0.000478619999999985 × 6371000     		dr = 3049.28801999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.99095159) × cos(1.41439069) × R
    0.00306795999999998 × 0.155768731682034 × 6371000     		do = 3044.65144862426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.99095159) × cos(1.41391207) × R
    0.00306795999999998 × 0.156241491572525 × 6371000     		du = 3053.89200075492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41439069)-sin(1.41391207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155768731682034-0.156241491572525)×R²
    abs(0.99095159-0.98788363)×0.000472759890490865×R²
    0.00306795999999998×0.000472759890490865×6371000²
    0.00306795999999998×0.000472759890490865×40589641000000     		ar = 9298107.91732323m²