Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1346 / 322
↖ ↑ ↗
← N 76.760541°
E 56.601563°		 ← 4 476.44 m → N 76.760541°
E 56.777344°		 →
↑
4 483.15 m
↓
↑
4 483.15 m
↓
N 76.720223°
E 56.601563°		 ← 4 489.83 m →
20 098 560 m²		 N 76.720223°
E 56.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657470703125 y=0.157470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657470703125 × 211)
    floor (0.657470703125 × 2048)
    floor (1346.5)     		tx = 1346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157470703125 × 211)
    floor (0.157470703125 × 2048)
    floor (322.5)     		ty = 322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1346 / 322 ti = "11/1346/322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1346/322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1346 ÷ 211
    1346 ÷ 2048     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 322 ÷ 211
    322 ÷ 2048     		y = 0.1572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1572265625 × 2 - 1) × π
    0.685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15370902612988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15370902612988))-π/2
    2×atan(8.61675898477983)-π/2
    2×1.45526025239671-π/2
    2.91052050479342-1.57079632675     		φ = 1.33972418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33972418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.760541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1346 KachelY 322 0.98788363 1.33972418 56.601563 76.760541
    Oben rechts KachelX + 1 1347 KachelY 322 0.99095159 1.33972418 56.777344 76.760541
    Unten links KachelX 1346 KachelY + 1 323 0.98788363 1.33902050 56.601563 76.720223
    Unten rechts KachelX + 1 1347 KachelY + 1 323 0.99095159 1.33902050 56.777344 76.720223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33972418-1.33902050) × R
    0.000703679999999984 × 6371000     		dl = 4483.1452799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33972418-1.33902050) × R
    0.000703679999999984 × 6371000     		dr = 4483.1452799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.99095159) × cos(1.33972418) × R
    0.00306795999999998 × 0.229021305609969 × 6371000     		do = 4476.44429252059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.99095159) × cos(1.33902050) × R
    0.00306795999999998 × 0.229706226029548 × 6371000     		du = 4489.83172865842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33972418)-sin(1.33902050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229021305609969-0.229706226029548)×R²
    abs(0.99095159-0.98788363)×0.000684920419579182×R²
    0.00306795999999998×0.000684920419579182×6371000²
    0.00306795999999998×0.000684920419579182×40589641000000     		ar = 20098559.8411068m²