Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1348 / 324
↖ ↑ ↗
← N 76.679785°
E 56.953125°		 ← 4 503.26 m → N 76.679785°
E 57.128906°		 →
↑
4 510.03 m
↓
↑
4 510.03 m
↓
N 76.639225°
E 56.953125°		 ← 4 516.72 m →
20 340 188 m²		 N 76.639225°
E 57.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658447265625 y=0.158447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658447265625 × 211)
    floor (0.658447265625 × 2048)
    floor (1348.5)     		tx = 1348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158447265625 × 211)
    floor (0.158447265625 × 2048)
    floor (324.5)     		ty = 324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1348 / 324 ti = "11/1348/324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1348/324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1348 ÷ 211
    1348 ÷ 2048     		x = 0.658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 324 ÷ 211
    324 ÷ 2048     		y = 0.158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658203125 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99401955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158203125 × 2 - 1) × π
    0.68359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99401955} λ = 0.99401955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14757310297852))-π/2
    2×atan(8.56404909113894)-π/2
    2×1.45455552153051-π/2
    2.90911104306101-1.57079632675     		φ = 1.33831472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99401955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33831472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.679785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1348 KachelY 324 0.99401955 1.33831472 56.953125 76.679785
    Oben rechts KachelX + 1 1349 KachelY 324 0.99708751 1.33831472 57.128906 76.679785
    Unten links KachelX 1348 KachelY + 1 325 0.99401955 1.33760682 56.953125 76.639225
    Unten rechts KachelX + 1 1349 KachelY + 1 325 0.99708751 1.33760682 57.128906 76.639225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33831472-1.33760682) × R
    0.000707900000000095 × 6371000     		dl = 4510.0309000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33831472-1.33760682) × R
    0.000707900000000095 × 6371000     		dr = 4510.0309000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99401955-0.99708751) × cos(1.33831472) × R
    0.00306795999999998 × 0.230393076212091 × 6371000     		do = 4503.25688389133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99401955-0.99708751) × cos(1.33760682) × R
    0.00306795999999998 × 0.231081874251245 × 6371000     		du = 4516.7201118773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33831472)-sin(1.33760682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230393076212091-0.231081874251245)×R²
    abs(0.99708751-0.99401955)×0.000688798039154059×R²
    0.00306795999999998×0.000688798039154059×6371000²
    0.00306795999999998×0.000688798039154059×40589641000000     		ar = 20340188.333512m²