Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1349 / 323
↖ ↑ ↗
← N 76.720223°
E 57.128906°		 ← 4 489.83 m → N 76.720223°
E 57.304687°		 →
↑
4 496.52 m
↓
↑
4 496.52 m
↓
N 76.679785°
E 57.128906°		 ← 4 503.26 m →
20 218 822 m²		 N 76.679785°
E 57.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658935546875 y=0.157958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658935546875 × 211)
    floor (0.658935546875 × 2048)
    floor (1349.5)     		tx = 1349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157958984375 × 211)
    floor (0.157958984375 × 2048)
    floor (323.5)     		ty = 323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1349 / 323 ti = "11/1349/323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1349/323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1349 ÷ 211
    1349 ÷ 2048     		x = 0.65869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 323 ÷ 211
    323 ÷ 2048     		y = 0.15771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65869140625 × 2 - 1) × π
    0.3173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.99708751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15771484375 × 2 - 1) × π
    0.6845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1506410645542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99708751} λ = 0.99708751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1506410645542))-π/2
    2×atan(8.59036361000901)-π/2
    2×1.45490841303141-π/2
    2.90981682606282-1.57079632675     		φ = 1.33902050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99708751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33902050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.720223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1349 KachelY 323 0.99708751 1.33902050 57.128906 76.720223
    Oben rechts KachelX + 1 1350 KachelY 323 1.00015547 1.33902050 57.304687 76.720223
    Unten links KachelX 1349 KachelY + 1 324 0.99708751 1.33831472 57.128906 76.679785
    Unten rechts KachelX + 1 1350 KachelY + 1 324 1.00015547 1.33831472 57.304687 76.679785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33902050-1.33831472) × R
    0.000705779999999878 × 6371000     		dl = 4496.52437999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33902050-1.33831472) × R
    0.000705779999999878 × 6371000     		dr = 4496.52437999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99708751-1.00015547) × cos(1.33902050) × R
    0.00306795999999998 × 0.229706226029548 × 6371000     		do = 4489.83172865842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99708751-1.00015547) × cos(1.33831472) × R
    0.00306795999999998 × 0.230393076212091 × 6371000     		du = 4503.25688389133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33902050)-sin(1.33831472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229706226029548-0.230393076212091)×R²
    abs(1.00015547-0.99708751)×0.000686850182542331×R²
    0.00306795999999998×0.000686850182542331×6371000²
    0.00306795999999998×0.000686850182542331×40589641000000     		ar = 20218821.938211m²