Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1350 / 318
↖ ↑ ↗
← N 76.920614°
E 57.304687°		 ← 4 423.29 m → N 76.920614°
E 57.480469°		 →
↑
4 429.88 m
↓
↑
4 429.88 m
↓
N 76.880775°
E 57.304687°		 ← 4 436.52 m →
19 623 960 m²		 N 76.880775°
E 57.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.659423828125 y=0.155517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.659423828125 × 211)
    floor (0.659423828125 × 2048)
    floor (1350.5)     		tx = 1350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155517578125 × 211)
    floor (0.155517578125 × 2048)
    floor (318.5)     		ty = 318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1350 / 318 ti = "11/1350/318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1350/318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1350 ÷ 211
    1350 ÷ 2048     		x = 0.6591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 318 ÷ 211
    318 ÷ 2048     		y = 0.1552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6591796875 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.00015547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1552734375 × 2 - 1) × π
    0.689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16598087243262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00015547} λ = 1.00015547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16598087243262))-π/2
    2×atan(8.72315402320972)-π/2
    2×1.45665714766461-π/2
    2.91331429532923-1.57079632675     		φ = 1.34251797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00015547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34251797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.920614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1350 KachelY 318 1.00015547 1.34251797 57.304687 76.920614
    Oben rechts KachelX + 1 1351 KachelY 318 1.00322344 1.34251797 57.480469 76.920614
    Unten links KachelX 1350 KachelY + 1 319 1.00015547 1.34182265 57.304687 76.880775
    Unten rechts KachelX + 1 1351 KachelY + 1 319 1.00322344 1.34182265 57.480469 76.880775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34251797-1.34182265) × R
    0.000695320000000166 × 6371000     		dl = 4429.88372000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34251797-1.34182265) × R
    0.000695320000000166 × 6371000     		dr = 4429.88372000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00015547-1.00322344) × cos(1.34251797) × R
    0.00306797000000003 × 0.226300880361387 × 6371000     		do = 4423.28535125718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00015547-1.00322344) × cos(1.34182265) × R
    0.00306797000000003 × 0.226978107226564 × 6371000     		du = 4436.52245253327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34251797)-sin(1.34182265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226300880361387-0.226978107226564)×R²
    abs(1.00322344-1.00015547)×0.000677226865176267×R²
    0.00306797000000003×0.000677226865176267×6371000²
    0.00306797000000003×0.000677226865176267×40589641000000     		ar = 19623959.9668057m²