Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13504 / 21440
↖ ↑ ↗
← S 48.458352°
W 31.640625°		 ← 810.11 m → S 48.458352°
W 31.629639°		 →
↑
810.07 m
↓
↑
810.07 m
↓
S 48.465637°
W 31.640625°		 ← 809.99 m →
656 197 m²		 S 48.465637°
W 31.629639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412124633789062 y=0.654312133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412124633789062 × 215)
    floor (0.412124633789062 × 32768)
    floor (13504.5)     		tx = 13504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654312133789062 × 215)
    floor (0.654312133789062 × 32768)
    floor (21440.5)     		ty = 21440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13504 / 21440 ti = "15/13504/21440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13504/21440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13504 ÷ 215
    13504 ÷ 32768     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21440 ÷ 215
    21440 ÷ 32768     		y = 0.654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654296875 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969475857916016))-π/2
    2×atan(0.379281783557872)-π/2
    2×0.362519268184134-π/2
    0.725038536368268-1.57079632675     		φ = -0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13504 KachelY 21440 -0.55223308 -0.84575779 -31.640625 -48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 13505 KachelY 21440 -0.55204134 -0.84575779 -31.629639 -48.458352
    Unten links KachelX 13504 KachelY + 1 21441 -0.55223308 -0.84588494 -31.640625 -48.465637
    Unten rechts KachelX + 1 13505 KachelY + 1 21441 -0.55204134 -0.84588494 -31.629639 -48.465637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84575779--0.84588494) × R
    0.000127150000000076 × 6371000     		dl = 810.072650000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84575779--0.84588494) × R
    0.000127150000000076 × 6371000     		dr = 810.072650000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.55204134) × cos(-0.84575779) × R
    0.000191739999999996 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 810.105271926989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.55204134) × cos(-0.84588494) × R
    0.000191739999999996 × 0.663069113127069 × 6371000     		du = 809.989009925502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84575779)-sin(-0.84588494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.663069113127069)×R²
    abs(-0.55204134--0.55223308)×9.51738125722912e-05×R²
    0.000191739999999996×9.51738125722912e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.51738125722912e-05×40589641000000     		ar = 656197.034959843m²