Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13504 / 21568
↖ ↑ ↗
← S 49.382373°
W 31.640625°		 ← 795.26 m → S 49.382373°
W 31.629639°		 →
↑
795.23 m
↓
↑
795.23 m
↓
S 49.389525°
W 31.640625°		 ← 795.14 m →
632 363 m²		 S 49.389525°
W 31.629639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412124633789062 y=0.658218383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412124633789062 × 215)
    floor (0.412124633789062 × 32768)
    floor (13504.5)     		tx = 13504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658218383789062 × 215)
    floor (0.658218383789062 × 32768)
    floor (21568.5)     		ty = 21568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13504 / 21568 ti = "15/13504/21568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13504/21568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13504 ÷ 215
    13504 ÷ 32768     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21568 ÷ 215
    21568 ÷ 32768     		y = 0.658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658203125 × 2 - 1) × π
    -0.31640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.994019550521484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994019550521484))-π/2
    2×atan(0.370086117464643)-π/2
    2×0.354455664616414-π/2
    0.708911329232827-1.57079632675     		φ = -0.86188500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86188500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.382373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13504 KachelY 21568 -0.55223308 -0.86188500 -31.640625 -49.382373
    Oben rechts KachelX + 1 13505 KachelY 21568 -0.55204134 -0.86188500 -31.629639 -49.382373
    Unten links KachelX 13504 KachelY + 1 21569 -0.55223308 -0.86200982 -31.640625 -49.389525
    Unten rechts KachelX + 1 13505 KachelY + 1 21569 -0.55204134 -0.86200982 -31.629639 -49.389525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86188500--0.86200982) × R
    0.000124820000000025 × 6371000     		dl = 795.228220000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86188500--0.86200982) × R
    0.000124820000000025 × 6371000     		dr = 795.228220000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.55204134) × cos(-0.86188500) × R
    0.000191739999999996 × 0.651007776650759 × 6371000     		do = 795.255176306333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.55204134) × cos(-0.86200982) × R
    0.000191739999999996 × 0.650913024329885 × 6371000     		du = 795.139429188795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86188500)-sin(-0.86200982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651007776650759-0.650913024329885)×R²
    abs(-0.55204134--0.55223308)×9.47523208745249e-05×R²
    0.000191739999999996×9.47523208745249e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.47523208745249e-05×40589641000000     		ar = 632363.33643347m²