Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1351 / 327
↖ ↑ ↗
← N 76.557743°
E 57.480469°		 ← 4 543.76 m → N 76.557743°
E 57.656250°		 →
↑
4 550.55 m
↓
↑
4 550.55 m
↓
N 76.516819°
E 57.480469°		 ← 4 557.34 m →
20 707 503 m²		 N 76.516819°
E 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.659912109375 y=0.159912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.659912109375 × 211)
    floor (0.659912109375 × 2048)
    floor (1351.5)     		tx = 1351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159912109375 × 211)
    floor (0.159912109375 × 2048)
    floor (327.5)     		ty = 327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1351 / 327 ti = "11/1351/327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1351/327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1351 ÷ 211
    1351 ÷ 2048     		x = 0.65966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 327 ÷ 211
    327 ÷ 2048     		y = 0.15966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65966796875 × 2 - 1) × π
    0.3193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.00322344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15966796875 × 2 - 1) × π
    0.6806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13836921825146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00322344} λ = 1.00322344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13836921825146))-π/2
    2×atan(8.4855881968979)-π/2
    2×1.45349050448054-π/2
    2.90698100896108-1.57079632675     		φ = 1.33618468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00322344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33618468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.557743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1351 KachelY 327 1.00322344 1.33618468 57.480469 76.557743
    Oben rechts KachelX + 1 1352 KachelY 327 1.00629140 1.33618468 57.656250 76.557743
    Unten links KachelX 1351 KachelY + 1 328 1.00322344 1.33547042 57.480469 76.516819
    Unten rechts KachelX + 1 1352 KachelY + 1 328 1.00629140 1.33547042 57.656250 76.516819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33618468-1.33547042) × R
    0.000714259999999856 × 6371000     		dl = 4550.55045999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33618468-1.33547042) × R
    0.000714259999999856 × 6371000     		dr = 4550.55045999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00322344-1.00629140) × cos(1.33618468) × R
    0.00306796000000009 × 0.232465288901964 × 6371000     		do = 4543.76029750956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00322344-1.00629140) × cos(1.33547042) × R
    0.00306796000000009 × 0.233159922173044 × 6371000     		du = 4557.33758078214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33618468)-sin(1.33547042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232465288901964-0.233159922173044)×R²
    abs(1.00629140-1.00322344)×0.000694633271080408×R²
    0.00306796000000009×0.000694633271080408×6371000²
    0.00306796000000009×0.000694633271080408×40589641000000     		ar = 20707503.4486302m²