Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1354 / 330
↖ ↑ ↗
← N 76.434604°
E 58.007813°		 ← 4 584.61 m → N 76.434604°
E 58.183594°		 →
↑
4 591.45 m
↓
↑
4 591.45 m
↓
N 76.393312°
E 58.007813°		 ← 4 598.30 m →
21 081 438 m²		 N 76.393312°
E 58.183594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.661376953125 y=0.161376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.661376953125 × 211)
    floor (0.661376953125 × 2048)
    floor (1354.5)     		tx = 1354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161376953125 × 211)
    floor (0.161376953125 × 2048)
    floor (330.5)     		ty = 330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1354 / 330 ti = "11/1354/330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1354/330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1354 ÷ 211
    1354 ÷ 2048     		x = 0.6611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 330 ÷ 211
    330 ÷ 2048     		y = 0.1611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6611328125 × 2 - 1) × π
    0.322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.01242732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    0.677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12916533352441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.01242732} λ = 1.01242732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12916533352441))-π/2
    2×atan(8.40784613458549)-π/2
    2×1.45241591088479-π/2
    2.90483182176958-1.57079632675     		φ = 1.33403550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.01242732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 58.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33403550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.434604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1354 KachelY 330 1.01242732 1.33403550 58.007813 76.434604
    Oben rechts KachelX + 1 1355 KachelY 330 1.01549528 1.33403550 58.183594 76.434604
    Unten links KachelX 1354 KachelY + 1 331 1.01242732 1.33331482 58.007813 76.393312
    Unten rechts KachelX + 1 1355 KachelY + 1 331 1.01549528 1.33331482 58.183594 76.393312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33403550-1.33331482) × R
    0.000720679999999918 × 6371000     		dl = 4591.45227999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33403550-1.33331482) × R
    0.000720679999999918 × 6371000     		dr = 4591.45227999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.01242732-1.01549528) × cos(1.33403550) × R
    0.00306795999999987 × 0.23455505297213 × 6371000     		do = 4584.60676993544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.01242732-1.01549528) × cos(1.33331482) × R
    0.00306795999999987 × 0.235255567073022 × 6371000     		du = 4598.29899974968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33403550)-sin(1.33331482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23455505297213-0.235255567073022)×R²
    abs(1.01549528-1.01242732)×0.000700514100892558×R²
    0.00306795999999987×0.000700514100892558×6371000²
    0.00306795999999987×0.000700514100892558×40589641000000     		ar = 21081437.7290507m²