Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13567 / 21761
↖ ↑ ↗
← S 50.743408°
W 30.948486°		 ← 773.01 m → S 50.743408°
W 30.937500°		 →
↑
772.99 m
↓
↑
772.99 m
↓
S 50.750360°
W 30.948486°		 ← 772.89 m →
597 484 m²		 S 50.750360°
W 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414047241210938 y=0.664108276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414047241210938 × 215)
    floor (0.414047241210938 × 32768)
    floor (13567.5)     		tx = 13567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664108276367188 × 215)
    floor (0.664108276367188 × 32768)
    floor (21761.5)     		ty = 21761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13567 / 21761 ti = "15/13567/21761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13567/21761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13567 ÷ 215
    13567 ÷ 32768     		x = 0.414031982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21761 ÷ 215
    21761 ÷ 32768     		y = 0.664093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.17193603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54015298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.32818603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03102683702817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54015298} λ = -0.54015298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03102683702817))-π/2
    2×atan(0.356640560751366)-π/2
    2×0.342578394031736-π/2
    0.685156788063471-1.57079632675     		φ = -0.88563954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54015298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.948486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88563954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.743408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13567 KachelY 21761 -0.54015298 -0.88563954 -30.948486 -50.743408
    Oben rechts KachelX + 1 13568 KachelY 21761 -0.53996124 -0.88563954 -30.937500 -50.743408
    Unten links KachelX 13567 KachelY + 1 21762 -0.54015298 -0.88576087 -30.948486 -50.750360
    Unten rechts KachelX + 1 13568 KachelY + 1 21762 -0.53996124 -0.88576087 -30.937500 -50.750360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88563954--0.88576087) × R
    0.000121330000000031 × 6371000     		dl = 772.993430000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88563954--0.88576087) × R
    0.000121330000000031 × 6371000     		dr = 772.993430000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54015298--0.53996124) × cos(-0.88563954) × R
    0.000191739999999996 × 0.632794422419974 × 6371000     		do = 773.006188276651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54015298--0.53996124) × cos(-0.88576087) × R
    0.000191739999999996 × 0.632700469536004 × 6371000     		du = 772.891417731681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88563954)-sin(-0.88576087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632794422419974-0.632700469536004)×R²
    abs(-0.53996124--0.54015298)×9.3952883969961e-05×R²
    0.000191739999999996×9.3952883969961e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.3952883969961e-05×40589641000000     		ar = 597484.347181308m²