Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13568 / 21759
↖ ↑ ↗
← S 50.729502°
W 30.937500°		 ← 773.28 m → S 50.729502°
W 30.926514°		 →
↑
773.18 m
↓
↑
773.18 m
↓
S 50.736455°
W 30.937500°		 ← 773.16 m →
597 841 m²		 S 50.736455°
W 30.926514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414077758789062 y=0.664047241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414077758789062 × 215)
    floor (0.414077758789062 × 32768)
    floor (13568.5)     		tx = 13568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664047241210938 × 215)
    floor (0.664047241210938 × 32768)
    floor (21759.5)     		ty = 21759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13568 / 21759 ti = "15/13568/21759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13568/21759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13568 ÷ 215
    13568 ÷ 32768     		x = 0.4140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21759 ÷ 215
    21759 ÷ 32768     		y = 0.664031982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4140625 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664031982421875 × 2 - 1) × π
    -0.32806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03064334183121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53996124} λ = -0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03064334183121))-π/2
    2×atan(0.356777356922116)-π/2
    2×0.342699748858705-π/2
    0.685399497717409-1.57079632675     		φ = -0.88539683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88539683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.729502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13568 KachelY 21759 -0.53996124 -0.88539683 -30.937500 -50.729502
    Oben rechts KachelX + 1 13569 KachelY 21759 -0.53976949 -0.88539683 -30.926514 -50.729502
    Unten links KachelX 13568 KachelY + 1 21760 -0.53996124 -0.88551819 -30.937500 -50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 13569 KachelY + 1 21760 -0.53976949 -0.88551819 -30.926514 -50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88539683--0.88551819) × R
    0.000121359999999959 × 6371000     		dl = 773.184559999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88539683--0.88551819) × R
    0.000121359999999959 × 6371000     		dr = 773.184559999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53996124--0.53976949) × cos(-0.88539683) × R
    0.000191750000000046 × 0.632982338948803 × 6371000     		do = 773.276069816847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53996124--0.53976949) × cos(-0.88551819) × R
    0.000191750000000046 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 773.161287677135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88539683)-sin(-0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632982338948803-0.632888381473458)×R²
    abs(-0.53976949--0.53996124)×9.39574753444639e-05×R²
    0.000191750000000046×9.39574753444639e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.39574753444639e-05×40589641000000     		ar = 597840.744643812m²