Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13568 / 22272
↖ ↑ ↗
← S 54.162434°
W 30.937500°		 ← 715.26 m → S 54.162434°
W 30.926514°		 →
↑
715.21 m
↓
↑
715.21 m
↓
S 54.168866°
W 30.937500°		 ← 715.15 m →
511 518 m²		 S 54.168866°
W 30.926514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414077758789062 y=0.679702758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414077758789062 × 215)
    floor (0.414077758789062 × 32768)
    floor (13568.5)     		tx = 13568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679702758789062 × 215)
    floor (0.679702758789062 × 32768)
    floor (22272.5)     		ty = 22272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13568 / 22272 ti = "15/13568/22272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13568/22272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13568 ÷ 215
    13568 ÷ 32768     		x = 0.4140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22272 ÷ 215
    22272 ÷ 32768     		y = 0.6796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4140625 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6796875 × 2 - 1) × π
    -0.359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.12900985985156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53996124} λ = -0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12900985985156))-π/2
    2×atan(0.323353263018262)-π/2
    2×0.312741761588495-π/2
    0.62548352317699-1.57079632675     		φ = -0.94531280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94531280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.162434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13568 KachelY 22272 -0.53996124 -0.94531280 -30.937500 -54.162434
    Oben rechts KachelX + 1 13569 KachelY 22272 -0.53976949 -0.94531280 -30.926514 -54.162434
    Unten links KachelX 13568 KachelY + 1 22273 -0.53996124 -0.94542506 -30.937500 -54.168866
    Unten rechts KachelX + 1 13569 KachelY + 1 22273 -0.53976949 -0.94542506 -30.926514 -54.168866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94531280--0.94542506) × R
    0.000112260000000086 × 6371000     		dl = 715.208460000549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94531280--0.94542506) × R
    0.000112260000000086 × 6371000     		dr = 715.208460000549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53996124--0.53976949) × cos(-0.94531280) × R
    0.000191750000000046 × 0.585489326925804 × 6371000     		do = 715.256742228816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53996124--0.53976949) × cos(-0.94542506) × R
    0.000191750000000046 × 0.585398316287083 × 6371000     		du = 715.145560060386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94531280)-sin(-0.94542506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585489326925804-0.585398316287083)×R²
    abs(-0.53976949--0.53996124)×9.10106387217446e-05×R²
    0.000191750000000046×9.10106387217446e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.10106387217446e-05×40589641000000     		ar = 511517.914437326m²