Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13570 / 21762
↖ ↑ ↗
← S 50.750360°
W 30.915527°		 ← 772.93 m → S 50.750360°
W 30.904541°		 →
↑
772.87 m
↓
↑
772.87 m
↓
S 50.757310°
W 30.915527°		 ← 772.82 m →
597 328 m²		 S 50.757310°
W 30.904541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414138793945312 y=0.664138793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414138793945312 × 215)
    floor (0.414138793945312 × 32768)
    floor (13570.5)     		tx = 13570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664138793945312 × 215)
    floor (0.664138793945312 × 32768)
    floor (21762.5)     		ty = 21762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13570 / 21762 ti = "15/13570/21762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13570/21762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13570 ÷ 215
    13570 ÷ 32768     		x = 0.41412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21762 ÷ 215
    21762 ÷ 32768     		y = 0.66412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1717529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53957774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.3282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03121858462665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53957774} λ = -0.53957774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03121858462665))-π/2
    2×atan(0.356572182336229)-π/2
    2×0.342517730129991-π/2
    0.685035460259983-1.57079632675     		φ = -0.88576087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53957774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.915527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88576087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.750360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13570 KachelY 21762 -0.53957774 -0.88576087 -30.915527 -50.750360
    Oben rechts KachelX + 1 13571 KachelY 21762 -0.53938599 -0.88576087 -30.904541 -50.750360
    Unten links KachelX 13570 KachelY + 1 21763 -0.53957774 -0.88588218 -30.915527 -50.757310
    Unten rechts KachelX + 1 13571 KachelY + 1 21763 -0.53938599 -0.88588218 -30.904541 -50.757310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88576087--0.88588218) × R
    0.00012130999999993 × 6371000     		dl = 772.866009999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88576087--0.88588218) × R
    0.00012130999999993 × 6371000     		dr = 772.866009999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53957774--0.53938599) × cos(-0.88576087) × R
    0.000191750000000046 × 0.632700469536004 × 6371000     		do = 772.931727078797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53957774--0.53938599) × cos(-0.88588218) × R
    0.000191750000000046 × 0.632606522827538 × 6371000     		du = 772.816958092327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88576087)-sin(-0.88588218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632700469536004-0.632606522827538)×R²
    abs(-0.53938599--0.53957774)×9.39467084664081e-05×R²
    0.000191750000000046×9.39467084664081e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.39467084664081e-05×40589641000000     		ar = 597328.310118026m²