Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13572 / 21764
↖ ↑ ↗
← S 50.764259°
W 30.893555°		 ← 772.70 m → S 50.764259°
W 30.882568°		 →
↑
772.61 m
↓
↑
772.61 m
↓
S 50.771208°
W 30.893555°		 ← 772.59 m →
596 954 m²		 S 50.771208°
W 30.882568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414199829101562 y=0.664199829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414199829101562 × 215)
    floor (0.414199829101562 × 32768)
    floor (13572.5)     		tx = 13572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664199829101562 × 215)
    floor (0.664199829101562 × 32768)
    floor (21764.5)     		ty = 21764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13572 / 21764 ti = "15/13572/21764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13572/21764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13572 ÷ 215
    13572 ÷ 32768     		x = 0.4141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21764 ÷ 215
    21764 ÷ 32768     		y = 0.6641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53919425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03160207982361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53919425} λ = -0.53919425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03160207982361))-π/2
    2×atan(0.356435464833861)-π/2
    2×0.342396429347762-π/2
    0.684792858695524-1.57079632675     		φ = -0.88600347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53919425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.893555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88600347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.764259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13572 KachelY 21764 -0.53919425 -0.88600347 -30.893555 -50.764259
    Oben rechts KachelX + 1 13573 KachelY 21764 -0.53900250 -0.88600347 -30.882568 -50.764259
    Unten links KachelX 13572 KachelY + 1 21765 -0.53919425 -0.88612474 -30.893555 -50.771208
    Unten rechts KachelX + 1 13573 KachelY + 1 21765 -0.53900250 -0.88612474 -30.882568 -50.771208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88600347--0.88612474) × R
    0.000121269999999951 × 6371000     		dl = 772.611169999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88600347--0.88612474) × R
    0.000121269999999951 × 6371000     		dr = 772.611169999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53919425--0.53900250) × cos(-0.88600347) × R
    0.000191749999999935 × 0.632512582300562 × 6371000     		do = 772.70219665696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53919425--0.53900250) × cos(-0.88612474) × R
    0.000191749999999935 × 0.632418647961062 × 6371000     		du = 772.587442780904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88600347)-sin(-0.88612474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632512582300562-0.632418647961062)×R²
    abs(-0.53900250--0.53919425)×9.39343394995573e-05×R²
    0.000191749999999935×9.39343394995573e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.39343394995573e-05×40589641000000     		ar = 596954.018888869m²