Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13576 / 21768
↖ ↑ ↗
← S 50.792047°
W 30.849610°		 ← 772.24 m → S 50.792047°
W 30.838623°		 →
↑
772.17 m
↓
↑
772.17 m
↓
S 50.798992°
W 30.849610°		 ← 772.13 m →
596 255 m²		 S 50.798992°
W 30.838623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414321899414062 y=0.664321899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414321899414062 × 215)
    floor (0.414321899414062 × 32768)
    floor (13576.5)     		tx = 13576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664321899414062 × 215)
    floor (0.664321899414062 × 32768)
    floor (21768.5)     		ty = 21768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13576 / 21768 ti = "15/13576/21768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13576/21768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13576 ÷ 215
    13576 ÷ 32768     		x = 0.414306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21768 ÷ 215
    21768 ÷ 32768     		y = 0.664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414306640625 × 2 - 1) × π
    -0.17138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53842726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.32861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03236907021753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53842726} λ = -0.53842726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03236907021753))-π/2
    2×atan(0.356162187070388)-π/2
    2×0.342153935855865-π/2
    0.684307871711729-1.57079632675     		φ = -0.88648846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53842726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.849610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88648846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.792047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13576 KachelY 21768 -0.53842726 -0.88648846 -30.849610 -50.792047
    Oben rechts KachelX + 1 13577 KachelY 21768 -0.53823551 -0.88648846 -30.838623 -50.792047
    Unten links KachelX 13576 KachelY + 1 21769 -0.53842726 -0.88660966 -30.849610 -50.798992
    Unten rechts KachelX + 1 13577 KachelY + 1 21769 -0.53823551 -0.88660966 -30.838623 -50.798992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88648846--0.88660966) × R
    0.000121199999999932 × 6371000     		dl = 772.16519999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88648846--0.88660966) × R
    0.000121199999999932 × 6371000     		dr = 772.16519999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53842726--0.53823551) × cos(-0.88648846) × R
    0.000191749999999935 × 0.632136858881542 × 6371000     		do = 772.243198181141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53842726--0.53823551) × cos(-0.88660966) × R
    0.000191749999999935 × 0.632042941600129 × 6371000     		du = 772.128465143914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88648846)-sin(-0.88660966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632136858881542-0.632042941600129)×R²
    abs(-0.53823551--0.53842726)×9.39172814126144e-05×R²
    0.000191749999999935×9.39172814126144e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.39172814126144e-05×40589641000000     		ar = 596255.027871741m²