Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1360 / 337
↖ ↑ ↗
← N 76.142959°
E 59.062500°		 ← 4 681.26 m → N 76.142959°
E 59.238281°		 →
↑
4 688.29 m
↓
↑
4 688.29 m
↓
N 76.100796°
E 59.062500°		 ← 4 695.23 m →
21 979 863 m²		 N 76.100796°
E 59.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664306640625 y=0.164794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664306640625 × 211)
    floor (0.664306640625 × 2048)
    floor (1360.5)     		tx = 1360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164794921875 × 211)
    floor (0.164794921875 × 2048)
    floor (337.5)     		ty = 337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1360 / 337 ti = "11/1360/337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1360/337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1360 ÷ 211
    1360 ÷ 2048     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 337 ÷ 211
    337 ÷ 2048     		y = 0.16455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16455078125 × 2 - 1) × π
    0.6708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10768960249463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10768960249463))-π/2
    2×atan(8.22920656588948)-π/2
    2×1.44987082710024-π/2
    2.89974165420049-1.57079632675     		φ = 1.32894533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32894533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.142959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1360 KachelY 337 1.03083509 1.32894533 59.062500 76.142959
    Oben rechts KachelX + 1 1361 KachelY 337 1.03390305 1.32894533 59.238281 76.142959
    Unten links KachelX 1360 KachelY + 1 338 1.03083509 1.32820945 59.062500 76.100796
    Unten rechts KachelX + 1 1361 KachelY + 1 338 1.03390305 1.32820945 59.238281 76.100796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32894533-1.32820945) × R
    0.000735880000000133 × 6371000     		dl = 4688.29148000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32894533-1.32820945) × R
    0.000735880000000133 × 6371000     		dr = 4688.29148000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03390305) × cos(1.32894533) × R
    0.00306795999999987 × 0.239500161671703 × 6371000     		do = 4681.26373185057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03390305) × cos(1.32820945) × R
    0.00306795999999987 × 0.240214559947368 × 6371000     		du = 4695.22734137227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32894533)-sin(1.32820945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239500161671703-0.240214559947368)×R²
    abs(1.03390305-1.03083509)×0.000714398275665024×R²
    0.00306795999999987×0.000714398275665024×6371000²
    0.00306795999999987×0.000714398275665024×40589641000000     		ar = 21979862.5973205m²