Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13600 / 21792
↖ ↑ ↗
← S 50.958427°
W 30.585937°		 ← 769.45 m → S 50.958427°
W 30.574951°		 →
↑
769.43 m
↓
↑
769.43 m
↓
S 50.965346°
W 30.585937°		 ← 769.34 m →
591 991 m²		 S 50.965346°
W 30.574951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415054321289062 y=0.665054321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415054321289062 × 215)
    floor (0.415054321289062 × 32768)
    floor (13600.5)     		tx = 13600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665054321289062 × 215)
    floor (0.665054321289062 × 32768)
    floor (21792.5)     		ty = 21792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13600 / 21792 ti = "15/13600/21792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13600/21792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13600 ÷ 215
    13600 ÷ 32768     		x = 0.4150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21792 ÷ 215
    21792 ÷ 32768     		y = 0.6650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4150390625 × 2 - 1) × π
    -0.169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53382531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6650390625 × 2 - 1) × π
    -0.330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03697101258105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53382531} λ = -0.53382531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03697101258105))-π/2
    2×atan(0.354526914813724)-π/2
    2×0.340701999427335-π/2
    0.681403998854669-1.57079632675     		φ = -0.88939233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53382531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.585937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88939233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.958427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13600 KachelY 21792 -0.53382531 -0.88939233 -30.585937 -50.958427
    Oben rechts KachelX + 1 13601 KachelY 21792 -0.53363357 -0.88939233 -30.574951 -50.958427
    Unten links KachelX 13600 KachelY + 1 21793 -0.53382531 -0.88951310 -30.585937 -50.965346
    Unten rechts KachelX + 1 13601 KachelY + 1 21793 -0.53363357 -0.88951310 -30.574951 -50.965346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88939233--0.88951310) × R
    0.000120769999999992 × 6371000     		dl = 769.425669999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88939233--0.88951310) × R
    0.000120769999999992 × 6371000     		dr = 769.425669999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53382531--0.53363357) × cos(-0.88939233) × R
    0.000191739999999996 × 0.629884113524226 × 6371000     		do = 769.451026115761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53382531--0.53363357) × cos(-0.88951310) × R
    0.000191739999999996 × 0.629790308184758 × 6371000     		du = 769.336435807546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88939233)-sin(-0.88951310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629884113524226-0.629790308184758)×R²
    abs(-0.53363357--0.53382531)×9.38053394679006e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38053394679006e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38053394679006e-05×40589641000000     		ar = 591991.287658468m²