Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1361 / 335
↖ ↑ ↗
← N 76.226907°
E 59.238281°		 ← 4 653.45 m → N 76.226907°
E 59.414062°		 →
↑
4 660.39 m
↓
↑
4 660.39 m
↓
N 76.184995°
E 59.238281°		 ← 4 667.34 m →
21 719 250 m²		 N 76.184995°
E 59.414062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664794921875 y=0.163818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664794921875 × 211)
    floor (0.664794921875 × 2048)
    floor (1361.5)     		tx = 1361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163818359375 × 211)
    floor (0.163818359375 × 2048)
    floor (335.5)     		ty = 335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1361 / 335 ti = "11/1361/335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1361/335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1361 ÷ 211
    1361 ÷ 2048     		x = 0.66455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 335 ÷ 211
    335 ÷ 2048     		y = 0.16357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66455078125 × 2 - 1) × π
    0.3291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.03390305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16357421875 × 2 - 1) × π
    0.6728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.113825525646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03390305} λ = 1.03390305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.113825525646))-π/2
    2×atan(8.27985557527988)-π/2
    2×1.45060341981756-π/2
    2.90120683963511-1.57079632675     		φ = 1.33041051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03390305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33041051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.226907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1361 KachelY 335 1.03390305 1.33041051 59.238281 76.226907
    Oben rechts KachelX + 1 1362 KachelY 335 1.03697101 1.33041051 59.414062 76.226907
    Unten links KachelX 1361 KachelY + 1 336 1.03390305 1.32967901 59.238281 76.184995
    Unten rechts KachelX + 1 1362 KachelY + 1 336 1.03697101 1.32967901 59.414062 76.184995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33041051-1.32967901) × R
    0.000731500000000107 × 6371000     		dl = 4660.38650000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33041051-1.32967901) × R
    0.000731500000000107 × 6371000     		dr = 4660.38650000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03390305-1.03697101) × cos(1.33041051) × R
    0.00306796000000009 × 0.238077367230491 × 6371000     		do = 4653.45382989079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03390305-1.03697101) × cos(1.32967901) × R
    0.00306796000000009 × 0.238787770060559 × 6371000     		du = 4667.33934454008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33041051)-sin(1.32967901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238077367230491-0.238787770060559)×R²
    abs(1.03697101-1.03390305)×0.000710402830067569×R²
    0.00306796000000009×0.000710402830067569×6371000²
    0.00306796000000009×0.000710402830067569×40589641000000     		ar = 21719250.3081935m²