Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1364 / 340
↖ ↑ ↗
← N 76.016094°
E 59.765625°		 ← 4 723.27 m → N 76.016094°
E 59.941406°		 →
↑
4 730.34 m
↓
↑
4 730.34 m
↓
N 75.973553°
E 59.765625°		 ← 4 737.35 m →
22 375 986 m²		 N 75.973553°
E 59.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.666259765625 y=0.166259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.666259765625 × 211)
    floor (0.666259765625 × 2048)
    floor (1364.5)     		tx = 1364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166259765625 × 211)
    floor (0.166259765625 × 2048)
    floor (340.5)     		ty = 340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1364 / 340 ti = "11/1364/340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1364/340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1364 ÷ 211
    1364 ÷ 2048     		x = 0.666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 340 ÷ 211
    340 ÷ 2048     		y = 0.166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.666015625 × 2 - 1) × π
    0.33203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.04310694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166015625 × 2 - 1) × π
    0.66796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09848571776758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.04310694} λ = 1.04310694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09848571776758))-π/2
    2×atan(8.1538133845587)-π/2
    2×1.44876372286263-π/2
    2.89752744572527-1.57079632675     		φ = 1.32673112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.04310694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32673112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.016094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1364 KachelY 340 1.04310694 1.32673112 59.765625 76.016094
    Oben rechts KachelX + 1 1365 KachelY 340 1.04617490 1.32673112 59.941406 76.016094
    Unten links KachelX 1364 KachelY + 1 341 1.04310694 1.32598864 59.765625 75.973553
    Unten rechts KachelX + 1 1365 KachelY + 1 341 1.04617490 1.32598864 59.941406 75.973553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32673112-1.32598864) × R
    0.00074247999999999 × 6371000     		dl = 4730.34007999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32673112-1.32598864) × R
    0.00074247999999999 × 6371000     		dr = 4730.34007999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.04310694-1.04617490) × cos(1.32673112) × R
    0.00306796000000009 × 0.241649341163748 × 6371000     		do = 4723.27153651844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.04310694-1.04617490) × cos(1.32598864) × R
    0.00306796000000009 × 0.24236975008597 × 6371000     		du = 4737.35262997642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32673112)-sin(1.32598864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241649341163748-0.24236975008597)×R²
    abs(1.04617490-1.04310694)×0.000720408922221943×R²
    0.00306796000000009×0.000720408922221943×6371000²
    0.00306796000000009×0.000720408922221943×40589641000000     		ar = 22375985.866235m²