Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1376 / 352
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
E 61.875000°		 ← 4 894.88 m → N 75.497157°
E 62.050781°		 →
↑
4 902.10 m
↓
↑
4 902.10 m
↓
N 75.453072°
E 61.875000°		 ← 4 909.43 m →
24 030 867 m²		 N 75.453072°
E 62.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.672119140625 y=0.172119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.672119140625 × 211)
    floor (0.672119140625 × 2048)
    floor (1376.5)     		tx = 1376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172119140625 × 211)
    floor (0.172119140625 × 2048)
    floor (352.5)     		ty = 352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1376 / 352 ti = "11/1376/352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1376/352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1376 ÷ 211
    1376 ÷ 2048     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 352 ÷ 211
    352 ÷ 2048     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1376 KachelY 352 1.07992247 1.31767397 61.875000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 1377 KachelY 352 1.08299044 1.31767397 62.050781 75.497157
    Unten links KachelX 1376 KachelY + 1 353 1.07992247 1.31690453 61.875000 75.453072
    Unten rechts KachelX + 1 1377 KachelY + 1 353 1.08299044 1.31690453 62.050781 75.453072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31690453) × R
    0.00076944000000001 × 6371000     		dl = 4902.10224000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31690453) × R
    0.00076944000000001 × 6371000     		dr = 4902.10224000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.08299044) × cos(1.31767397) × R
    0.00306797000000003 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 4894.87567651965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.08299044) × cos(1.31690453) × R
    0.00306797000000003 × 0.251172886395047 × 6371000     		du = 4909.43449822196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31690453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.251172886395047)×R²
    abs(1.08299044-1.07992247)×0.00074484775605127×R²
    0.00306797000000003×0.00074484775605127×6371000²
    0.00306797000000003×0.00074484775605127×40589641000000     		ar = 24030866.6202278m²