Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1378 / 354
↖ ↑ ↗
← N 75.408854°
E 62.226563°		 ← 4 924.02 m → N 75.408854°
E 62.402344°		 →
↑
4 931.35 m
↓
↑
4 931.35 m
↓
N 75.364505°
E 62.226563°		 ← 4 938.66 m →
24 318 130 m²		 N 75.364505°
E 62.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.673095703125 y=0.173095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.673095703125 × 211)
    floor (0.673095703125 × 2048)
    floor (1378.5)     		tx = 1378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173095703125 × 211)
    floor (0.173095703125 × 2048)
    floor (354.5)     		ty = 354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1378 / 354 ti = "11/1378/354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1378/354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1378 ÷ 211
    1378 ÷ 2048     		x = 0.6728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 354 ÷ 211
    354 ÷ 2048     		y = 0.1728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6728515625 × 2 - 1) × π
    0.345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.08605840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1728515625 × 2 - 1) × π
    0.654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.08605840} λ = 1.08605840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05553425570801))-π/2
    2×atan(7.81100983467888)-π/2
    2×1.44346455911163-π/2
    2.88692911822325-1.57079632675     		φ = 1.31613279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.08605840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 62.226563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31613279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.408854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1378 KachelY 354 1.08605840 1.31613279 62.226563 75.408854
    Oben rechts KachelX + 1 1379 KachelY 354 1.08912636 1.31613279 62.402344 75.408854
    Unten links KachelX 1378 KachelY + 1 355 1.08605840 1.31535876 62.226563 75.364505
    Unten rechts KachelX + 1 1379 KachelY + 1 355 1.08912636 1.31535876 62.402344 75.364505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31613279-1.31535876) × R
    0.00077402999999987 × 6371000     		dl = 4931.34512999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31613279-1.31535876) × R
    0.00077402999999987 × 6371000     		dr = 4931.34512999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.08605840-1.08912636) × cos(1.31613279) × R
    0.00306796000000009 × 0.251919811268558 × 6371000     		do = 4924.01786952766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.08605840-1.08912636) × cos(1.31535876) × R
    0.00306796000000009 × 0.252668801799655 × 6371000     		du = 4938.65761834556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31613279)-sin(1.31535876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251919811268558-0.252668801799655)×R²
    abs(1.08912636-1.08605840)×0.000748990531096172×R²
    0.00306796000000009×0.000748990531096172×6371000²
    0.00306796000000009×0.000748990531096172×40589641000000     		ar = 24318129.5820631m²