Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1384 / 360
↖ ↑ ↗
← N 75.140778°
E 63.281250°		 ← 5 012.47 m → N 75.140778°
E 63.457031°		 →
↑
5 019.90 m
↓
↑
5 019.90 m
↓
N 75.095633°
E 63.281250°		 ← 5 027.35 m →
25 199 449 m²		 N 75.095633°
E 63.457031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.676025390625 y=0.176025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.676025390625 × 211)
    floor (0.676025390625 × 2048)
    floor (1384.5)     		tx = 1384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176025390625 × 211)
    floor (0.176025390625 × 2048)
    floor (360.5)     		ty = 360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1384 / 360 ti = "11/1384/360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1384/360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1384 ÷ 211
    1384 ÷ 2048     		x = 0.67578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 360 ÷ 211
    360 ÷ 2048     		y = 0.17578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67578125 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.10446617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17578125 × 2 - 1) × π
    0.6484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03712648625391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.10446617} λ = 1.10446617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03712648625391))-π/2
    2×atan(7.66854184823222)-π/2
    2×1.44112515130493-π/2
    2.88225030260985-1.57079632675     		φ = 1.31145398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.10446617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 63.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31145398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.140778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1384 KachelY 360 1.10446617 1.31145398 63.281250 75.140778
    Oben rechts KachelX + 1 1385 KachelY 360 1.10753413 1.31145398 63.457031 75.140778
    Unten links KachelX 1384 KachelY + 1 361 1.10446617 1.31066605 63.281250 75.095633
    Unten rechts KachelX + 1 1385 KachelY + 1 361 1.10753413 1.31066605 63.457031 75.095633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31145398-1.31066605) × R
    0.000787929999999992 × 6371000     		dl = 5019.90202999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31145398-1.31066605) × R
    0.000787929999999992 × 6371000     		dr = 5019.90202999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.10446617-1.10753413) × cos(1.31145398) × R
    0.00306795999999987 × 0.256444946876806 × 6371000     		do = 5012.46604867147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.10446617-1.10753413) × cos(1.31066605) × R
    0.00306795999999987 × 0.257206447899179 × 6371000     		du = 5027.35032721609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31145398)-sin(1.31066605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.256444946876806-0.257206447899179)×R²
    abs(1.10753413-1.10446617)×0.000761501022372935×R²
    0.00306795999999987×0.000761501022372935×6371000²
    0.00306795999999987×0.000761501022372935×40589641000000     		ar = 25199448.60679m²