Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 139 / 133
↖ ↑ ↗
← S  7.013668°
E 15.468750°		 ← 155.198 km → S  7.013668°
E 16.875000°		 →
↑
154.950 km
↓
↑
154.950 km
↓
S  8.407168°
E 15.468750°		 ← 154.688 km →
24 009.6 km²		 S  8.407168°
E 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544921875 y=0.521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544921875 × 28)
    floor (0.544921875 × 256)
    floor (139.5)     		tx = 139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521484375 × 28)
    floor (0.521484375 × 256)
    floor (133.5)     		ty = 133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 139 / 133 ti = "8/139/133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/139/133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 139 ÷ 28
    139 ÷ 256     		x = 0.54296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 133 ÷ 28
    133 ÷ 256     		y = 0.51953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54296875 × 2 - 1) × π
    0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51953125 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26998062} λ = 0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122718463027344))-π/2
    2×atan(0.884512650523422)-π/2
    2×0.724192364410406-π/2
    1.44838472882081-1.57079632675     		φ = -0.12241160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12241160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.013668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 139 KachelY 133 0.26998062 -0.12241160 15.468750 -7.013668
    Oben rechts KachelX + 1 140 KachelY 133 0.29452431 -0.12241160 16.875000 -7.013668
    Unten links KachelX 139 KachelY + 1 134 0.26998062 -0.14673277 15.468750 -8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 140 KachelY + 1 134 0.29452431 -0.14673277 16.875000 -8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12241160--0.14673277) × R
    0.02432117 × 6371000     		dl = 154950.17407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12241160--0.14673277) × R
    0.02432117 × 6371000     		dr = 154950.17407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26998062-0.29452431) × cos(-0.12241160) × R
    0.02454369 × 0.992517051180543 × 6371000     		do = 155197.756378999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26998062-0.29452431) × cos(-0.14673277) × R
    0.02454369 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 154687.527646532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12241160)-sin(-0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992517051180543-0.989254048358907)×R²
    abs(0.29452431-0.26998062)×0.0032630028216365×R²
    0.02454369×0.0032630028216365×6371000²
    0.02454369×0.0032630028216365×40589641000000     		ar = 24009572872.9103m²