Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 14 / 31
↖ ↑ ↗
← S 83.979259°
W 22.500000°		 ← 131.209 km → S 83.979259°
W 11.250000°		 →
↑
119.186 km
↓
↑
119.186 km
↓
S 85.051129°
W 22.500000°		 ← 107.915 km →
14 250.6 km²		 S 85.051129°
W 11.250000°
     

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453125 y=0.984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453125 × 25)
    floor (0.453125 × 32)
    floor (14.5)     		tx = 14
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.984375 × 25)
    floor (0.984375 × 32)
    floor (31.5)     		ty = 31
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 14 / 31 ti = "5/14/31"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/14/31.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14 ÷ 25
    14 ÷ 32     		x = 0.4375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31 ÷ 25
    31 ÷ 32     		y = 0.96875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4375 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.96875 × 2 - 1) × π
    -0.9375 × 3.1415926535     		Φ = -2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39269908} λ = -0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.94524311265625))-π/2
    2×atan(0.0525892731441516)-π/2
    2×0.0525408725809301-π/2
    0.10508174516186-1.57079632675     		φ = -1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14 KachelY 31 -0.39269908 -1.46571458 -22.500000 -83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 15 KachelY 31 -0.19634954 -1.46571458 -11.250000 -83.979259
    Unten links KachelX 14 KachelY + 1 32 -0.39269908 -1.48442223 -22.500000 -85.051129
    Unten rechts KachelX + 1 15 KachelY + 1 32 -0.19634954 -1.48442223 -11.250000 -85.051129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.46571458--1.48442223) × R
    0.0187076500000001 × 6371000     		dl = 119186.43815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.46571458--1.48442223) × R
    0.0187076500000001 × 6371000     		dr = 119186.43815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39269908--0.19634954) × cos(-1.46571458) × R
    0.19634954 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 131209.482684941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39269908--0.19634954) × cos(-1.48442223) × R
    0.19634954 × 0.0862667380803361 × 6371000     		du = 107914.765176155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.46571458)-sin(-1.48442223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.0862667380803361)×R²
    abs(-0.19634954--0.39269908)×0.0186217269778201×R²
    0.19634954×0.0186217269778201×6371000²
    0.19634954×0.0186217269778201×40589641000000     		ar = 14250599305.534m²