Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1406 / 390
↖ ↑ ↗
← N 73.726594°
E 67.148437°		 ← 5 477.20 m → N 73.726594°
E 67.324219°		 →
↑
5 485.24 m
↓
↑
5 485.24 m
↓
N 73.677265°
E 67.148437°		 ← 5 493.35 m →
30 088 033 m²		 N 73.677265°
E 67.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686767578125 y=0.190673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686767578125 × 211)
    floor (0.686767578125 × 2048)
    floor (1406.5)     		tx = 1406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190673828125 × 211)
    floor (0.190673828125 × 2048)
    floor (390.5)     		ty = 390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1406 / 390 ti = "11/1406/390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1406/390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1406 ÷ 211
    1406 ÷ 2048     		x = 0.6865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 390 ÷ 211
    390 ÷ 2048     		y = 0.1904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6865234375 × 2 - 1) × π
    0.373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17196132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1904296875 × 2 - 1) × π
    0.619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9450876389834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17196132} λ = 1.17196132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9450876389834))-π/2
    2×atan(6.99424479667741)-π/2
    2×1.42878407530738-π/2
    2.85756815061476-1.57079632675     		φ = 1.28677182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17196132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.148437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28677182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.726594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1406 KachelY 390 1.17196132 1.28677182 67.148437 73.726594
    Oben rechts KachelX + 1 1407 KachelY 390 1.17502928 1.28677182 67.324219 73.726594
    Unten links KachelX 1406 KachelY + 1 391 1.17196132 1.28591085 67.148437 73.677265
    Unten rechts KachelX + 1 1407 KachelY + 1 391 1.17502928 1.28591085 67.324219 73.677265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28677182-1.28591085) × R
    0.000860969999999961 × 6371000     		dl = 5485.23986999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28677182-1.28591085) × R
    0.000860969999999961 × 6371000     		dr = 5485.23986999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17196132-1.17502928) × cos(1.28677182) × R
    0.00306795999999987 × 0.280221174249523 × 6371000     		do = 5477.19555074462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17196132-1.17502928) × cos(1.28591085) × R
    0.00306795999999987 × 0.281047545923488 × 6371000     		du = 5493.34778930413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28677182)-sin(1.28591085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280221174249523-0.281047545923488)×R²
    abs(1.17502928-1.17196132)×0.000826371673965209×R²
    0.00306795999999987×0.000826371673965209×6371000²
    0.00306795999999987×0.000826371673965209×40589641000000     		ar = 30088032.7208153m²