Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1409 / 383
↖ ↑ ↗
← N 74.067866°
E 67.675781°		 ← 5 365.34 m → N 74.067866°
E 67.851563°		 →
↑
5 373.30 m
↓
↑
5 373.30 m
↓
N 74.019543°
E 67.675781°		 ← 5 381.19 m →
28 872 181 m²		 N 74.019543°
E 67.851563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688232421875 y=0.187255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688232421875 × 211)
    floor (0.688232421875 × 2048)
    floor (1409.5)     		tx = 1409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187255859375 × 211)
    floor (0.187255859375 × 2048)
    floor (383.5)     		ty = 383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1409 / 383 ti = "11/1409/383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1409/383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1409 ÷ 211
    1409 ÷ 2048     		x = 0.68798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 383 ÷ 211
    383 ÷ 2048     		y = 0.18701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18116521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18701171875 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96656337001318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18116521} λ = 1.18116521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96656337001318))-π/2
    2×atan(7.14607582240616)-π/2
    2×1.43176223138021-π/2
    2.86352446276042-1.57079632675     		φ = 1.29272814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18116521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29272814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.067866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1409 KachelY 383 1.18116521 1.29272814 67.675781 74.067866
    Oben rechts KachelX + 1 1410 KachelY 383 1.18423317 1.29272814 67.851563 74.067866
    Unten links KachelX 1409 KachelY + 1 384 1.18116521 1.29188474 67.675781 74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 1410 KachelY + 1 384 1.18423317 1.29188474 67.851563 74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29272814-1.29188474) × R
    0.000843399999999939 × 6371000     		dl = 5373.30139999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29272814-1.29188474) × R
    0.000843399999999939 × 6371000     		dr = 5373.30139999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18116521-1.18423317) × cos(1.29272814) × R
    0.00306795999999987 × 0.274498554466336 × 6371000     		do = 5365.34137805758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18116521-1.18423317) × cos(1.29188474) × R
    0.00306795999999987 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 5381.19130899967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29272814)-sin(1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274498554466336-0.275309459649329)×R²
    abs(1.18423317-1.18116521)×0.000810905182993038×R²
    0.00306795999999987×0.000810905182993038×6371000²
    0.00306795999999987×0.000810905182993038×40589641000000     		ar = 28872181.2776962m²