Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1409 / 385
↖ ↑ ↗
← N 73.971078°
E 67.675781°		 ← 5 397.08 m → N 73.971078°
E 67.851563°		 →
↑
5 405.09 m
↓
↑
5 405.09 m
↓
N 73.922469°
E 67.675781°		 ← 5 413.02 m →
29 214 809 m²		 N 73.922469°
E 67.851563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688232421875 y=0.188232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688232421875 × 211)
    floor (0.688232421875 × 2048)
    floor (1409.5)     		tx = 1409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188232421875 × 211)
    floor (0.188232421875 × 2048)
    floor (385.5)     		ty = 385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1409 / 385 ti = "11/1409/385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1409/385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1409 ÷ 211
    1409 ÷ 2048     		x = 0.68798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 385 ÷ 211
    385 ÷ 2048     		y = 0.18798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18116521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18798828125 × 2 - 1) × π
    0.6240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96042744686182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18116521} λ = 1.18116521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96042744686182))-π/2
    2×atan(7.10236229888599)-π/2
    2×1.43091759141713-π/2
    2.86183518283426-1.57079632675     		φ = 1.29103886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18116521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29103886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.971078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1409 KachelY 385 1.18116521 1.29103886 67.675781 73.971078
    Oben rechts KachelX + 1 1410 KachelY 385 1.18423317 1.29103886 67.851563 73.971078
    Unten links KachelX 1409 KachelY + 1 386 1.18116521 1.29019047 67.675781 73.922469
    Unten rechts KachelX + 1 1410 KachelY + 1 386 1.18423317 1.29019047 67.851563 73.922469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29103886-1.29019047) × R
    0.000848390000000032 × 6371000     		dl = 5405.09269000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29103886-1.29019047) × R
    0.000848390000000032 × 6371000     		dr = 5405.09269000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18116521-1.18423317) × cos(1.29103886) × R
    0.00306795999999987 × 0.276122552582718 × 6371000     		do = 5397.08400165227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18116521-1.18423317) × cos(1.29019047) × R
    0.00306795999999987 × 0.276937859776176 × 6371000     		du = 5413.01997417274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29103886)-sin(1.29019047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276122552582718-0.276937859776176)×R²
    abs(1.18423317-1.18116521)×0.000815307193457404×R²
    0.00306795999999987×0.000815307193457404×6371000²
    0.00306795999999987×0.000815307193457404×40589641000000     		ar = 29214808.7412526m²