Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1410 / 2946
↖ ↑ ↗
← S 61.689872°
W 56.074219°		 ← 4 634.78 m → S 61.689872°
W 55.986328°		 →
↑
4 631.65 m
↓
↑
4 631.65 m
↓
S 61.731525°
W 56.074219°		 ← 4 628.52 m →
21 452 200 m²		 S 61.731525°
W 55.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3443603515625 y=0.7193603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3443603515625 × 212)
    floor (0.3443603515625 × 4096)
    floor (1410.5)     		tx = 1410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7193603515625 × 212)
    floor (0.7193603515625 × 4096)
    floor (2946.5)     		ty = 2946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1410 / 2946 ti = "12/1410/2946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1410/2946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1410 ÷ 212
    1410 ÷ 4096     		x = 0.34423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2946 ÷ 212
    2946 ÷ 4096     		y = 0.71923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34423828125 × 2 - 1) × π
    -0.3115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97867974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71923828125 × 2 - 1) × π
    -0.4384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37751474748193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97867974} λ = -0.97867974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37751474748193))-π/2
    2×atan(0.252204566871227)-π/2
    2×0.247052470890511-π/2
    0.494104941781022-1.57079632675     		φ = -1.07669138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97867974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07669138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.689872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1410 KachelY 2946 -0.97867974 -1.07669138 -56.074219 -61.689872
    Oben rechts KachelX + 1 1411 KachelY 2946 -0.97714576 -1.07669138 -55.986328 -61.689872
    Unten links KachelX 1410 KachelY + 1 2947 -0.97867974 -1.07741837 -56.074219 -61.731525
    Unten rechts KachelX + 1 1411 KachelY + 1 2947 -0.97714576 -1.07741837 -55.986328 -61.731525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07669138--1.07741837) × R
    0.000726989999999983 × 6371000     		dl = 4631.65328999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07669138--1.07741837) × R
    0.000726989999999983 × 6371000     		dr = 4631.65328999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97867974--0.97714576) × cos(-1.07669138) × R
    0.00153398000000005 × 0.474243842283262 × 6371000     		do = 4634.77870628209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97867974--0.97714576) × cos(-1.07741837) × R
    0.00153398000000005 × 0.473603679720616 × 6371000     		du = 4628.52240614834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07669138)-sin(-1.07741837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474243842283262-0.473603679720616)×R²
    abs(-0.97714576--0.97867974)×0.000640162562645152×R²
    0.00153398000000005×0.000640162562645152×6371000²
    0.00153398000000005×0.000640162562645152×40589641000000     		ar = 21452200.4816444m²