Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1412 / 2436
↖ ↑ ↗
← S 32.249975°
W 55.898437°		 ← 8 265.29 m → S 32.249975°
W 55.810547°		 →
↑
8 261.91 m
↓
↑
8 261.91 m
↓
S 32.324276°
W 55.898437°		 ← 8 258.52 m →
68 259 141 m²		 S 32.324276°
W 55.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3448486328125 y=0.5948486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3448486328125 × 212)
    floor (0.3448486328125 × 4096)
    floor (1412.5)     		tx = 1412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5948486328125 × 212)
    floor (0.5948486328125 × 4096)
    floor (2436.5)     		ty = 2436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1412 / 2436 ti = "12/1412/2436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1412/2436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1412 ÷ 212
    1412 ÷ 4096     		x = 0.3447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2436 ÷ 212
    2436 ÷ 4096     		y = 0.5947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3447265625 × 2 - 1) × π
    -0.310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97561178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.595184545682617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97561178} λ = -0.97561178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.595184545682617))-π/2
    2×atan(0.551460786769341)-π/2
    2×0.503964044435201-π/2
    1.0079280888704-1.57079632675     		φ = -0.56286824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97561178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56286824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.249975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1412 KachelY 2436 -0.97561178 -0.56286824 -55.898437 -32.249975
    Oben rechts KachelX + 1 1413 KachelY 2436 -0.97407780 -0.56286824 -55.810547 -32.249975
    Unten links KachelX 1412 KachelY + 1 2437 -0.97561178 -0.56416504 -55.898437 -32.324276
    Unten rechts KachelX + 1 1413 KachelY + 1 2437 -0.97407780 -0.56416504 -55.810547 -32.324276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56286824--0.56416504) × R
    0.00129679999999999 × 6371000     		dl = 8261.91279999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56286824--0.56416504) × R
    0.00129679999999999 × 6371000     		dr = 8261.91279999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97561178--0.97407780) × cos(-0.56286824) × R
    0.00153398000000005 × 0.845728058505028 × 6371000     		do = 8265.28896609934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97561178--0.97407780) × cos(-0.56416504) × R
    0.00153398000000005 × 0.845035356755228 × 6371000     		du = 8258.5192011946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56286824)-sin(-0.56416504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845728058505028-0.845035356755228)×R²
    abs(-0.97407780--0.97561178)×0.000692701749799851×R²
    0.00153398000000005×0.000692701749799851×6371000²
    0.00153398000000005×0.000692701749799851×40589641000000     		ar = 68259140.6669526m²