Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1416 / 1928
↖ ↑ ↗
← S 82.853382°
E 68.906250°		 ← 2 431.69 m → S 82.853382°
E 69.082031°		 →
↑
2 427.99 m
↓
↑
2 427.99 m
↓
S 82.875218°
E 68.906250°		 ← 2 424.30 m →
5 895 145 m²		 S 82.875218°
E 69.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691650390625 y=0.941650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691650390625 × 211)
    floor (0.691650390625 × 2048)
    floor (1416.5)     		tx = 1416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.941650390625 × 211)
    floor (0.941650390625 × 2048)
    floor (1928.5)     		ty = 1928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1416 / 1928 ti = "11/1416/1928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1416/1928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1416 ÷ 211
    1416 ÷ 2048     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1928 ÷ 211
    1928 ÷ 2048     		y = 0.94140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94140625 × 2 - 1) × π
    -0.8828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.77343726441797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77343726441797))-π/2
    2×atan(0.062446988608245)-π/2
    2×0.0623660046999839-π/2
    0.124732009399968-1.57079632675     		φ = -1.44606432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44606432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.853382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1416 KachelY 1928 1.20264094 -1.44606432 68.906250 -82.853382
    Oben rechts KachelX + 1 1417 KachelY 1928 1.20570890 -1.44606432 69.082031 -82.853382
    Unten links KachelX 1416 KachelY + 1 1929 1.20264094 -1.44644542 68.906250 -82.875218
    Unten rechts KachelX + 1 1417 KachelY + 1 1929 1.20570890 -1.44644542 69.082031 -82.875218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44606432--1.44644542) × R
    0.000381100000000023 × 6371000     		dl = 2427.98810000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44606432--1.44644542) × R
    0.000381100000000023 × 6371000     		dr = 2427.98810000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20570890) × cos(-1.44606432) × R
    0.00306796000000009 × 0.124408826678382 × 6371000     		do = 2431.69158712281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20570890) × cos(-1.44644542) × R
    0.00306796000000009 × 0.124030678402431 × 6371000     		du = 2424.30031107058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44606432)-sin(-1.44644542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124408826678382-0.124030678402431)×R²
    abs(1.20570890-1.20264094)×0.000378148275950507×R²
    0.00306796000000009×0.000378148275950507×6371000²
    0.00306796000000009×0.000378148275950507×40589641000000     		ar = 5895145.34259281m²