Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1416 / 392
↖ ↑ ↗
← N 73.627789°
E 68.906250°		 ← 5 509.54 m → N 73.627789°
E 69.082031°		 →
↑
5 517.67 m
↓
↑
5 517.67 m
↓
N 73.578167°
E 68.906250°		 ← 5 525.78 m →
30 444 638 m²		 N 73.578167°
E 69.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691650390625 y=0.191650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691650390625 × 211)
    floor (0.691650390625 × 2048)
    floor (1416.5)     		tx = 1416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191650390625 × 211)
    floor (0.191650390625 × 2048)
    floor (392.5)     		ty = 392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1416 / 392 ti = "11/1416/392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1416/392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1416 ÷ 211
    1416 ÷ 2048     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 392 ÷ 211
    392 ÷ 2048     		y = 0.19140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19140625 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93895171583203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93895171583203))-π/2
    2×atan(6.9514600443149)-π/2
    2×1.42792183109354-π/2
    2.85584366218708-1.57079632675     		φ = 1.28504734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28504734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.627789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1416 KachelY 392 1.20264094 1.28504734 68.906250 73.627789
    Oben rechts KachelX + 1 1417 KachelY 392 1.20570890 1.28504734 69.082031 73.627789
    Unten links KachelX 1416 KachelY + 1 393 1.20264094 1.28418128 68.906250 73.578167
    Unten rechts KachelX + 1 1417 KachelY + 1 393 1.20570890 1.28418128 69.082031 73.578167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28504734-1.28418128) × R
    0.000866059999999891 × 6371000     		dl = 5517.6682599993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28504734-1.28418128) × R
    0.000866059999999891 × 6371000     		dr = 5517.6682599993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20570890) × cos(1.28504734) × R
    0.00306796000000009 × 0.281876146271479 × 6371000     		do = 5509.54358946672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20570890) × cos(1.28418128) × R
    0.00306796000000009 × 0.282706982415702 × 6371000     		du = 5525.78309044206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28504734)-sin(1.28418128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281876146271479-0.282706982415702)×R²
    abs(1.20570890-1.20264094)×0.000830836144222913×R²
    0.00306796000000009×0.000830836144222913×6371000²
    0.00306796000000009×0.000830836144222913×40589641000000     		ar = 30444637.7831674m²