Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1417 / 391
↖ ↑ ↗
← N 73.677265°
E 69.082031°		 ← 5 493.35 m → N 73.677265°
E 69.257812°		 →
↑
5 501.42 m
↓
↑
5 501.42 m
↓
N 73.627789°
E 69.082031°		 ← 5 509.54 m →
30 265 777 m²		 N 73.627789°
E 69.257812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.692138671875 y=0.191162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.692138671875 × 211)
    floor (0.692138671875 × 2048)
    floor (1417.5)     		tx = 1417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191162109375 × 211)
    floor (0.191162109375 × 2048)
    floor (391.5)     		ty = 391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1417 / 391 ti = "11/1417/391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1417/391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1417 ÷ 211
    1417 ÷ 2048     		x = 0.69189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 391 ÷ 211
    391 ÷ 2048     		y = 0.19091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69189453125 × 2 - 1) × π
    0.3837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20570890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19091796875 × 2 - 1) × π
    0.6181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94201967740771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20570890} λ = 1.20570890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94201967740771))-π/2
    2×atan(6.97281960502782)-π/2
    2×1.42835358787712-π/2
    2.85670717575424-1.57079632675     		φ = 1.28591085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20570890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28591085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.677265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1417 KachelY 391 1.20570890 1.28591085 69.082031 73.677265
    Oben rechts KachelX + 1 1418 KachelY 391 1.20877686 1.28591085 69.257812 73.677265
    Unten links KachelX 1417 KachelY + 1 392 1.20570890 1.28504734 69.082031 73.627789
    Unten rechts KachelX + 1 1418 KachelY + 1 392 1.20877686 1.28504734 69.257812 73.627789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28591085-1.28504734) × R
    0.000863510000000067 × 6371000     		dl = 5501.42221000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28591085-1.28504734) × R
    0.000863510000000067 × 6371000     		dr = 5501.42221000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20570890-1.20877686) × cos(1.28591085) × R
    0.00306795999999987 × 0.281047545923488 × 6371000     		do = 5493.34778930413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20570890-1.20877686) × cos(1.28504734) × R
    0.00306795999999987 × 0.281876146271479 × 6371000     		du = 5509.54358946633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28591085)-sin(1.28504734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281047545923488-0.281876146271479)×R²
    abs(1.20877686-1.20570890)×0.000828600347991093×R²
    0.00306795999999987×0.000828600347991093×6371000²
    0.00306795999999987×0.000828600347991093×40589641000000     		ar = 30265777.3833232m²