Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14208 / 6016
↖ ↑ ↗
← N 43.068888°
E132.187500°		 ← 1 784.90 m → N 43.068888°
E132.209473°		 →
↑
1 785.15 m
↓
↑
1 785.15 m
↓
N 43.052834°
E132.187500°		 ← 1 785.36 m →
3 186 732 m²		 N 43.052834°
E132.209473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867218017578125 y=0.367218017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867218017578125 × 214)
    floor (0.867218017578125 × 16384)
    floor (14208.5)     		tx = 14208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367218017578125 × 214)
    floor (0.367218017578125 × 16384)
    floor (6016.5)     		ty = 6016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14208 / 6016 ti = "14/14208/6016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14208/6016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14208 ÷ 214
    14208 ÷ 16384     		x = 0.8671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6016 ÷ 214
    6016 ÷ 16384     		y = 0.3671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8671875 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30710710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3671875 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30710710} λ = 2.30710710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834485548585937))-π/2
    2×atan(2.30362863838476)-π/2
    2×1.16124511180433-π/2
    2.32249022360866-1.57079632675     		φ = 0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30710710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14208 KachelY 6016 2.30710710 0.75169390 132.187500 43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 14209 KachelY 6016 2.30749060 0.75169390 132.209473 43.068888
    Unten links KachelX 14208 KachelY + 1 6017 2.30710710 0.75141370 132.187500 43.052834
    Unten rechts KachelX + 1 14209 KachelY + 1 6017 2.30749060 0.75141370 132.209473 43.052834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75169390-0.75141370) × R
    0.000280200000000064 × 6371000     		dl = 1785.15420000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75169390-0.75141370) × R
    0.000280200000000064 × 6371000     		dr = 1785.15420000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30710710-2.30749060) × cos(0.75169390) × R
    0.00038349999999987 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 1784.89604109544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30710710-2.30749060) × cos(0.75141370) × R
    0.00038349999999987 × 0.730724505322326 × 6371000     		du = 1785.36347327657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75169390)-sin(0.75141370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.730724505322326)×R²
    abs(2.30749060-2.30710710)×0.000191313508110968×R²
    0.00038349999999987×0.000191313508110968×6371000²
    0.00038349999999987×0.000191313508110968×40589641000000     		ar = 3186731.90443676m²