Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1424 / 400
↖ ↑ ↗
← N 73.226700°
E 70.312500°		 ← 5 640.69 m → N 73.226700°
E 70.488281°		 →
↑
5 648.97 m
↓
↑
5 648.97 m
↓
N 73.175897°
E 70.312500°		 ← 5 657.28 m →
31 910 964 m²		 N 73.175897°
E 70.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695556640625 y=0.195556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695556640625 × 211)
    floor (0.695556640625 × 2048)
    floor (1424.5)     		tx = 1424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195556640625 × 211)
    floor (0.195556640625 × 2048)
    floor (400.5)     		ty = 400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1424 / 400 ti = "11/1424/400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1424/400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1424 ÷ 211
    1424 ÷ 2048     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 400 ÷ 211
    400 ÷ 2048     		y = 0.1953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1953125 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91440802322656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91440802322656))-π/2
    2×atan(6.78292227582966)-π/2
    2×1.42442166839607-π/2
    2.84884333679215-1.57079632675     		φ = 1.27804701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27804701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.226700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1424 KachelY 400 1.22718463 1.27804701 70.312500 73.226700
    Oben rechts KachelX + 1 1425 KachelY 400 1.23025259 1.27804701 70.488281 73.226700
    Unten links KachelX 1424 KachelY + 1 401 1.22718463 1.27716034 70.312500 73.175897
    Unten rechts KachelX + 1 1425 KachelY + 1 401 1.23025259 1.27716034 70.488281 73.175897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27804701-1.27716034) × R
    0.000886670000000089 × 6371000     		dl = 5648.97457000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27804701-1.27716034) × R
    0.000886670000000089 × 6371000     		dr = 5648.97457000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.23025259) × cos(1.27804701) × R
    0.00306796000000009 × 0.288585657047466 × 6371000     		do = 5640.68750701091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.23025259) × cos(1.27716034) × R
    0.00306796000000009 × 0.289434489306181 × 6371000     		du = 5657.27875955708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27804701)-sin(1.27716034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288585657047466-0.289434489306181)×R²
    abs(1.23025259-1.22718463)×0.000848832258714294×R²
    0.00306796000000009×0.000848832258714294×6371000²
    0.00306796000000009×0.000848832258714294×40589641000000     		ar = 31910964.1569291m²