Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1425 / 401
↖ ↑ ↗
← N 73.175897°
E 70.488281°		 ← 5 657.28 m → N 73.175897°
E 70.664062°		 →
↑
5 665.60 m
↓
↑
5 665.60 m
↓
N 73.124945°
E 70.488281°		 ← 5 673.91 m →
32 099 022 m²		 N 73.124945°
E 70.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.696044921875 y=0.196044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.696044921875 × 211)
    floor (0.696044921875 × 2048)
    floor (1425.5)     		tx = 1425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196044921875 × 211)
    floor (0.196044921875 × 2048)
    floor (401.5)     		ty = 401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1425 / 401 ti = "11/1425/401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1425/401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1425 ÷ 211
    1425 ÷ 2048     		x = 0.69580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 401 ÷ 211
    401 ÷ 2048     		y = 0.19580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69580078125 × 2 - 1) × π
    0.3916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.23025259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19580078125 × 2 - 1) × π
    0.6083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91134006165088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.23025259} λ = 1.23025259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91134006165088))-π/2
    2×atan(6.76214442004559)-π/2
    2×1.42397833278507-π/2
    2.84795666557014-1.57079632675     		φ = 1.27716034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.23025259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27716034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.175897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1425 KachelY 401 1.23025259 1.27716034 70.488281 73.175897
    Oben rechts KachelX + 1 1426 KachelY 401 1.23332055 1.27716034 70.664062 73.175897
    Unten links KachelX 1425 KachelY + 1 402 1.23025259 1.27627106 70.488281 73.124945
    Unten rechts KachelX + 1 1426 KachelY + 1 402 1.23332055 1.27627106 70.664062 73.124945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27716034-1.27627106) × R
    0.000889279999999992 × 6371000     		dl = 5665.60287999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27716034-1.27627106) × R
    0.000889279999999992 × 6371000     		dr = 5665.60287999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.23025259-1.23332055) × cos(1.27716034) × R
    0.00306795999999987 × 0.289434489306181 × 6371000     		do = 5657.27875955667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.23025259-1.23332055) × cos(1.27627106) × R
    0.00306795999999987 × 0.290285591630776 × 6371000     		du = 5673.91438274963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27716034)-sin(1.27627106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289434489306181-0.290285591630776)×R²
    abs(1.23332055-1.23025259)×0.000851102324595565×R²
    0.00306795999999987×0.000851102324595565×6371000²
    0.00306795999999987×0.000851102324595565×40589641000000     		ar = 32099022.3658254m²