Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 143 / 145
↖ ↑ ↗
← S 23.241346°
E 21.093750°		 ← 143.679 km → S 23.241346°
E 22.500000°		 →
↑
142.973 km
↓
↑
142.973 km
↓
S 24.527135°
E 21.093750°		 ← 142.258 km →
20 441.5 km²		 S 24.527135°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560546875 y=0.568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560546875 × 28)
    floor (0.560546875 × 256)
    floor (143.5)     		tx = 143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568359375 × 28)
    floor (0.568359375 × 256)
    floor (145.5)     		ty = 145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 143 / 145 ti = "8/143/145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/143/145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 143 ÷ 28
    143 ÷ 256     		x = 0.55859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 145 ÷ 28
    145 ÷ 256     		y = 0.56640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55859375 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56640625 × 2 - 1) × π
    -0.1328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.417242774292969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36815539} λ = 0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417242774292969))-π/2
    2×atan(0.658860946025793)-π/2
    2×0.582579157361833-π/2
    1.16515831472367-1.57079632675     		φ = -0.40563801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40563801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.241346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 143 KachelY 145 0.36815539 -0.40563801 21.093750 -23.241346
    Oben rechts KachelX + 1 144 KachelY 145 0.39269908 -0.40563801 22.500000 -23.241346
    Unten links KachelX 143 KachelY + 1 146 0.36815539 -0.42807926 21.093750 -24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 144 KachelY + 1 146 0.39269908 -0.42807926 22.500000 -24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40563801--0.42807926) × R
    0.02244125 × 6371000     		dl = 142973.20375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40563801--0.42807926) × R
    0.02244125 × 6371000     		dr = 142973.20375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36815539-0.39269908) × cos(-0.40563801) × R
    0.02454369 × 0.91885082221011 × 6371000     		do = 143678.726611688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36815539-0.39269908) × cos(-0.42807926) × R
    0.02454369 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 142257.96062693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40563801)-sin(-0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91885082221011-0.909764772910752)×R²
    abs(0.39269908-0.36815539)×0.00908604929935808×R²
    0.02454369×0.00908604929935808×6371000²
    0.02454369×0.00908604929935808×40589641000000     		ar = 20441500007.4273m²