Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 143 / 147
↖ ↑ ↗
← S 25.799891°
E 21.093750°		 ← 140.781 km → S 25.799891°
E 22.500000°		 →
↑
140.021 km
↓
↑
140.021 km
↓
S 27.059126°
E 21.093750°		 ← 139.251 km →
19 605.9 km²		 S 27.059126°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560546875 y=0.576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560546875 × 28)
    floor (0.560546875 × 256)
    floor (143.5)     		tx = 143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576171875 × 28)
    floor (0.576171875 × 256)
    floor (147.5)     		ty = 147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 143 / 147 ti = "8/143/147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/143/147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 143 ÷ 28
    143 ÷ 256     		x = 0.55859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 147 ÷ 28
    147 ÷ 256     		y = 0.57421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55859375 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57421875 × 2 - 1) × π
    -0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36815539} λ = 0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466330159503906))-π/2
    2×atan(0.627300140750788)-π/2
    2×0.560251639511602-π/2
    1.1205032790232-1.57079632675     		φ = -0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 143 KachelY 147 0.36815539 -0.45029305 21.093750 -25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 144 KachelY 147 0.39269908 -0.45029305 22.500000 -25.799891
    Unten links KachelX 143 KachelY + 1 148 0.36815539 -0.47227084 21.093750 -27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 144 KachelY + 1 148 0.39269908 -0.47227084 22.500000 -27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45029305--0.47227084) × R
    0.0219777900000001 × 6371000     		dl = 140020.50009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45029305--0.47227084) × R
    0.0219777900000001 × 6371000     		dr = 140020.50009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36815539-0.39269908) × cos(-0.45029305) × R
    0.02454369 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 140781.038792734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36815539-0.39269908) × cos(-0.47227084) × R
    0.02454369 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 139251.442390274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45029305)-sin(-0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.890537558006442)×R²
    abs(0.39269908-0.36815539)×0.00978203903385422×R²
    0.02454369×0.00978203903385422×6371000²
    0.02454369×0.00978203903385422×40589641000000     		ar = 19605933211.5011m²