Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 143 / 79
↖ ↑ ↗
← N 56.559482°
E 21.093750°		 ← 86.170 km → N 56.559482°
E 22.500000°		 →
↑
87.056 km
↓
↑
87.056 km
↓
N 55.776573°
E 21.093750°		 ← 87.945 km →
7 578.93 km²		 N 55.776573°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560546875 y=0.310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560546875 × 28)
    floor (0.560546875 × 256)
    floor (143.5)     		tx = 143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310546875 × 28)
    floor (0.310546875 × 256)
    floor (79.5)     		ty = 79
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 143 / 79 ti = "8/143/79"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/143/79.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 143 ÷ 28
    143 ÷ 256     		x = 0.55859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79 ÷ 28
    79 ÷ 256     		y = 0.30859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55859375 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30859375 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36815539} λ = 0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20264093766797))-π/2
    2×atan(3.32889673294267)-π/2
    2×1.27897275967083-π/2
    2.55794551934167-1.57079632675     		φ = 0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 143 KachelY 79 0.36815539 0.98714919 21.093750 56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 144 KachelY 79 0.39269908 0.98714919 22.500000 56.559482
    Unten links KachelX 143 KachelY + 1 80 0.36815539 0.97348484 21.093750 55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 144 KachelY + 1 80 0.39269908 0.97348484 22.500000 55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98714919-0.97348484) × R
    0.01366435 × 6371000     		dl = 87055.5738499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98714919-0.97348484) × R
    0.01366435 × 6371000     		dr = 87055.5738499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36815539-0.39269908) × cos(0.98714919) × R
    0.02454369 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 86169.7836178692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36815539-0.39269908) × cos(0.97348484) × R
    0.02454369 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 87944.6417010923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98714919)-sin(0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.562421509722991)×R²
    abs(0.39269908-0.36815539)×0.0113505307816608×R²
    0.02454369×0.0113505307816608×6371000²
    0.02454369×0.0113505307816608×40589641000000     		ar = 7578933530.92704m²